Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

3.5. Funkcje ciągłe 121
Funkcja √ x rozpatrywana na półprostej [0,+∞) jest jednostajnie ciągła,
ale nie spełnia warunku Lipschitza: jeśli x > y, to 0 < √ x − √ y < √ x − y,
co można wykazać, przenosząc √ y na prawą stronę nierówności, a następnie
podnosząc obie strony nierówności do kwadratu. Z tej nierówności wynika
jednostajna ciągłość, starczy przyjąć, że δ = ε 2 . Z warunku Lipschitza
(| √ x − √ y| ≤ L|x − y|) wynikałoby, że L ≥
oczywiście przeczy temu, że L < + ∞.
Wykazaliśmy więc, że:
√
1/n− √ 0
1/n−0
= √ n −−−−→
n→∞
warunek Lipschitza =⇒ jednostajna ciągłość =⇒ ciągłość
+ ∞, co
oraz że żadna z tych implikacji nie może być zastąpiona równoważnością. Warto
jeszcze dodać, że w definicji (otoczeniowej) ciągłości funkcji w punkcie żąda
się istnienia liczby δ > 0 i że takie samo żądanie występuje w definicji ciągłości
jednostajnej. Różnica polega na tym, że w definicji ciągłości liczba δ > 0 jest
dopasowywana do punktu, w którym badana jest ciągłość i do liczby ε > 0,
natomiast w definicji ciągłości jednostajnej δ > 0 zależy tylko od ε. Podamy
teraz ważne twierdzenie, które wykorzystamy w rozdziale poświęconym
całkom.
TWIERDZENIE 3.25 (Cantora–Heine’go o jednostajnej ciągłości) 11 . Jeśli
funkcja f jest ciągła w każdym punkcie przedziału domkniętego [a,b], to jest
ona ciągła jednostajnie na tym przedziale.
Dowód. Załóżmy, że twierdzenie nie jest prawdziwe. Istnieje wtedy taka
liczba ε > 0, że dla każdej liczby δ > 0 istnieją takie liczby x,y ∈
∈ [a,b], że |x − y| < δ i jednocześnie |f(x) − f(y)| ≥ ε. Niech x n ,y n będą
takimi liczbami z przedziału [a,b], że |x n − y n | < δ = 1 i jednocześnie
n
|f(x) −f(y)| ≥ ε. Z twierdzenia Bolzano–Weierstrassa wynika, że z ciągu (x n )
można wybrać podciąg zbieżny (x kn ). Oznaczmy jego granicę przez g. Mamy
więc g = lim x kn , a ponieważ |x n − y n | < 1 , więc również g = lim y
n→∞ n k n
.
n→∞
Oczywiście g ∈ [a,b]. Wobec tego funkcja f jest ciągła w punkcie g, zatem
f(g) = lim f(x kn ) = lim f(y kn ), wbrew temu że |f(x kn ) − f(y kn )| ≥ ε > 0.
n→∞ n→∞
Dowód został zakończony.
Teraz zajmiemy się monotonicznymi funkcjami ciągłymi. Zaczniemy od
twierdzenia gwarantującego ciągłość funkcji monotonicznej.
11 Zarówno twierdzenie, jak i jego dowód, są poza programem.