Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

4.2. Badanie funkcji za pomocą pochodnych, ekstrema i monotoniczność 161
dratową zmiennej x: (3 − s)(−x 2 + sx). Większość studentów pamięta z nauki
szkolnej, że funkcja kwadratowa, której współczynnik przy x 2 jest ujemny,
przyjmuje swą wartość największą w środku odcinka, w którego końcach funkcja
ta przyjmuje równe wartości (np. 0, wtedy końcami odcinka są pierwiastki
funkcji). W naszym przypadku tym punktem jest 9 x = 1(0 + s) = s . By zakończyć
zadanie należy znaleźć maksymalną wartość wyrażenia (3 − s) s2 na 4
2 2
przedziale [0,3]. Mamy:
) ′ ((3 − s) s2
= − s2
4 4 + (3 − s)s 2 = 3 − 3 4 s2 .
Ponieważ funkcja (3 − s) s2 zmiennej s jest ciągła na przedziale domkniętym
[0,3], więc osiąga w jakimś punkcie swój kres górny. Ponieważ w końcach
4
przedziału przyjmuje wartość 0, a wewnątrz jest dodatnia, więc kres górny
jest przyjmowany w jakimś punkcie wewnętrznym tego przedziału. Jedynym
punktem w przedziale (0,3), w którym pochodna funkcji (3 − s) s2 przyjmuje
4
wartość 0, jest 2. Wartość funkcji (3 − s) s2 w tym punkcie równa jest 1. Odpowiednie
wartości wyjściowych zmiennych to x = y = z = 1. Zadanie zostało
4
rozwiązane.
Pokażemy teraz inne rozwiązanie tego samego problemu. Przypomnijmy,
że w poprzednim rozdziale wykazaliśmy nierówność o średniej arytmetycznej
i geometrycznej, która w przypadku trzech liczb nieujemnych x,y,z przybiera
postać 3√ xyz ≤ x+y+z , przy czym staje się ona równością wtedy i tylko
3
wtedy, gdy x = y = z. W naszym przypadku oznacza to, że 3√ xyz ≤ 1, przy
czym nierówność staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy x = y = z = 1.
Wobec tego największą wartością iloczynu trzech liczb nieujemnych, których
suma jest równa 3 jest liczba 1. To drugie rozwiązanie jest krótsze, ale wymaga
pewnego pomysłu. Później pokażemy jeszcze dwa inne rozwiązania tego zadania,
wykorzystując twierdzenia dotyczące funkcji dwu lub trzech zmiennych
rzeczywistych.
Zanim pokażemy następne przykłady, zauważmy, że z definicji pochodnej
wynika następująca równość przybliżona: f ′ (p) ≈ f(p+h)−f(p) dla h ≈ 0. Nie
h
troszcząc się przesadnie o precyzję rozumowania, przepisać ją można w postaci:
f(p + h) ≈ f(p) + f ′ (p)h.
9 Tym, którzy akurat zapomnieli, że tak jest, podajemy uzasadnienie, wykorzystując twierdzenia
z tego rozdziału. Mamy (x(s − x)(3 − s)) ′ = (3 −s)(−2x+s). Ta pochodna jest dodatnia na półprostej
(− ∞, s 2 ), a na półprostej ( s , ∞) jest ujemna. Wobec tego funkcja jest ściśle rosnąca na półprostej
(− ∞, s 2 ], a na półprostej [ s s
2
, ∞) jest ściśle malejąca, więc liczba (3 − s) · 2 2 ·(s − s 2 ) = (3 − s) s2 4
jest jej największą wartością. Bez pochodnych jest łatwiej: x(s−x)(3−s) = (3−s)[−(x− s 2 )2 + s2 4 ] ≤
≤ (3 − s) · s2 – do badania wielomianów kwadratowych pochodne nie są potrzebne.
4