Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

196 4. Funkcje różniczkowalne
Mamy więc:
∣ s(x + h) − s(x)
∞∑ ∣∣∣∣ − na
∣
n x n−1 =
h
n=0
∞∑
( ) ∣ (x + h) n − x n
∣∣∣
=
a
∣ n − nx n−1 =
h
n=0
∞∑ n∑
( ∣
n
∣∣∣∣ ∞∑ n∑
( n
=
a
∣ n x
k)
n−k h k−1 ≤ |h| · |a n | |x|
k)
n−k |h| k−2 ≤
n=2
≤ |h| ·
k=2
n=2
k=2
∞∑ n∑
( ) n − 2
|a n |n 2 |x| (n−2)−(k−2) |h| k−2 =
k − 2
n=2
n=2
k=2
∞∑
∞∑
= |h| · n 2 |a n |(|x| + |h|) n−2 ≤ |h| · n 2 |a n |(|x| + d) n−2 .
Przedostatnia nierówność wynika z tego, że jeśli n ≥ k ≥ 2, to:
( ( ) ( )
n n · (n − 1) n − 2 n − 2
=
k)
(k − 1) · k · ≤ n 2 .
k − 2 k − 2
n=2
Oczywiście lim|h| · ∞∑ n 2 |a n |(|x| + d) n−2 = 0, zatem
h→0 n=2
[ s(x + h) − s(x)
lim
−
h→0 h
∞∑ ]
na n x n−1 = 0,
a stąd od razu wynika, że s ′ s(x+h)−s(x)
∑
(x) = lim = ∞ na
h→0
h
n x n−1 . Dowód został
n=1
zakończony.
n=1
4.8. Zadania
212. Korzystając jedynie z definicji pochodnej, obliczyć f ′ (0), jeśli f(x) =
= x 2 cos x.
213. Korzystając jedynie z definicji pochodnej, obliczyć f ′ (0), jeśli f(x) =
= xe x .
214. Korzystając jedynie z definicji pochodnej, obliczyć f ′ (0), jeśli f(x) =
= x(x − 1).
215. Korzystając jedynie z definicji pochodnej, obliczyć f ′ (1), jeśli f(x) =
= x(x − 1).