Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

48 1. Ciągi nieskończone
wać spore n, a to wymaga długich obliczeń. Jeśli nawet stosujemy kalkulator
lub komputer, to błąd, który jest popełniany w każdym kroku, może się akumulować
– te urządzenia operują przecież przybliżeniami liczb!
Licznik i mianownik ułamka e−(1+ n) 1 n
są oczywiście zbieżne do 0, mianownik
jest ściśle malejący, więc można zająć się granicą ilorazu różnicy kolejnych
1/n
liczników przez różnicę kolejnych mianowników, czyli granicą wyrażenia:
( ( ) n+1
) ( ( ) n
)
e − 1 + 1 − e − 1 + 1 n+1
n
1
n+1 − 1 n
=
( ) n+1 ( ) n
1 + 1
n+1 − 1 + 1 n
1
n − 1
n+1
Dla wygody oznaczamy x = 1 . Wtedy n = 1 − 1 = 1−x,
więc 1 + 1 =
n+1 x x n
1 + x = = 1 . Wyrażenie, którego granica nas interesuje, ma więc postać
1−x 1−x
(w wykładnikach zostawiamy n):
(
(1 + x) n+1 −
1
1−x
) n
x
− x = (1 + x)n+1 − 1
(1−x) n
x−x(1−x)
1−x 1−x
( n
Mamy lim (1 − x) n = lim 1 − 1
n→∞ n→∞ n+1)
= lim
Wobec tego trzeba znaleźć granicę lim
Newtona:
(1−x 2 ) n+1 −(1−x)
n→∞
x 2
= (1 − x2 ) n+1 − (1 − x)
x 2 (1 − x) n .
(1− n+1) 1 n+1
n→∞ 1− 1
n+1
= e−1
1
= 1 e .
. Zastosujemy dwumian
(1 − x 2 ) n+1 − 1 + x =
( ) ( ) ( )
n + 1 n + 1 n + 1
= 1 − x 2 + x 4 − x 6 + · · · + (−x 2 ) n+1 − 1 + x =
1 2 3
( ) ( )
n + 1 n + 1
= x − (n + 1)x 2 + x 4 − x 6 + · · · + (−x 2 ) n+1 =
2 3
( ) ( )
n + 1 n + 1
= x 4 − x 6 + · · · + (−x 2 ) n+1 .
2 3
Ostatnia równość wynika z tego, że x = 1 , czyli x(n + 1) = 1.
n+1
Mamy oczywiście lim
zachodzi nierówność:
( n + 1
k
)
x 2k =
( n+1
2 )x 4
n→∞ x 2
(n+1)·n
= lim = 1 . Dla n ≥ k − 1 oraz k ≥ 3
n→∞ 2(n+1) 2 2
(n + 1)n ... (n + 2 − k)
x 2k ≤
k!
(n + 1)k
x 2k <
k!
1
(n + 1) k .
.