Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

4.3. ATOMARE GAP-SOLITONEN 105
dass der Untergrund zerfließt und für lange Beobachtungszeiten t > 45 ms im Rauschen
verschwindet. Dagegen behält das Soliton seine Form und bleibt gut beobachtbar.
Ein Querschnitt durch die summierten Aufnahmen bei t = 35 ms verdeutlicht diesen
Sachverhalt. Der Untergrund hat im Ortsraum am Rand steile Kanten ausgebildet,
die darauf schließen lassen, dass die Impulsverteilung dieses Teils des Wellenpakets mit
den Quasiimpulsen bei verschwindender Dispersion k ∞ überlappen. Dies wird bestätigt
durch die räumliche Breite von 280 µm, aus der man die maximale bzw. minimale Gruppengeschwindigkeit
v max/min = ±0.68v r deduziert. Der Wert entspricht annähernd dem
berechneten Wert v max = 0.73v r für die eingestellte Potentialtiefe U 0 = 0.66 E r . Die
Atomzahl im Soliton beträgt für diese Messung N 0 = 230, für den Untergrund hingegen
N = 900 Atome. Um eine Erklärung zu erhalten, warum 50-80 % der Atome ”
abgestrahlt“
werden, wurden eindimensionale numerische Simulationen für die gewählten
experimentellen Parameter durchgeführt.
Numerische Simulation der Solitondynamik
Es wurde dazu die nichtpolynominale Schrödingergleichung 3.17 benutzt, wobei das periodische
Potential explizit berücksichtigt wurde. Es wurde also mit Ausnahme der Reduktion
der 3d-Gross-Pitaevskii Gleichung 3.12 auf eine effektiv eindimensionale Situation
keine Näherung gemacht. Die Parameter der Simulation entsprechen der Zeitreihe, die in
Abbildung 4.8 gezeigt ist (ω ⊥ = 2π × 85 Hz, ω ‖ = 2π × 38 Hz, U 0 = 0.7 E r .). Der Grundzustand
wurde für N = 3000 Atome berechnet. Der Braggpuls wurde berücksichtigt,
indem die Atomzahl danach auf N = 1000 reduziert wurde.
In Abbildung 4.10 sind die Ergebnisse der Simulation dargestellt. Grafik (a) zeigt dabei
die Entwicklung der Kondensatwellenfunktion N|ψ(x, t)| 2 während der Präparation
an die Bandkante. Die Wellenpakete sind zur besseren Übersicht in x-Richtung versetzt
dargestellt. Das linke Bild zeigt die Wellenfunktion für t = 0 ohne (schwarze Kurve) bzw.
mit stehendem periodischem Potential bei k c = 0 (rote Kurve). In der ersten Millisekunde
der Präparation an die Bandkante, bleibt die Breite der Wolke praktisch unverändert,
die Wellenfunktion wird jedoch zunehmend stärker moduliert. Bei t = 1.5 ms ist die
Präparation abgeschlossen. Wie man es an der Bandkante erwartet ist |ψ(x, t)| 2 nahezu
vollständig moduliert (u k (x) = sin(kx)). Das Ensemble beginnt zu komprimieren, da die
Atomzahl (N = 1000) größer ist, als es dem fundamentalen Soliton (N 0 = 400) entspricht.
Bereits nach t ≃ 2 ms erreicht die Wolke ihre größte Dichte, danach verbreitert
sich das Soliton wieder.
Die Langzeitdynamik ist in Grafik (b) gezeigt, wobei die Verschiebung der Wellenpakete
in diesem Fall vom Einfluss der schwachen longitudinalen Falle des Wellenleiters
stammt. Als Vergleich ist wiederum N|ψ(x, t)| 2 für die Zeit t = 0 sowie für t = 25 ms
und t = 50 ms gezeigt. Die räumliche Verteilung entspricht für die beiden langen Zeiten
einem sekans hyperbolicus: für die nichtpolynominale Schrödingergleichung stellt dieser
zwar keine exakte Lösung aber eine sehr gute Näherung dar.
In Grafik (c) ist die Breite x 0 der Wellenpakete über der Zeit aufgetragen. Sie wurde
bestimmt indem |ψ(x, t)| 2 durch eine Fitfunktion der Form des fundamentalen Solitons
mit variabler Höhe und Breite approximiert wurde. Nach anfänglicher Kompression steigt
die Breite stark an. Für lange Zeiten t > 20 ms oszilliert sie mit abnehmender Amplitude
um einen Mittelwert x 0 = 3.8 µm, nahe am deduzierten experimentellen Mittelwert
(4.1 µm). Diese Oszillation entspricht nicht einem Soliton höherer Ordnung, sondern