Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

3.2. BEEINFLUSSUNG DER DYNAMIK 67
3.2 Beeinflussung der Dynamik - BEC in periodischen Potentialen
Das Ziel der im nächsten Kapitel dargestellten Ergebnisse ist die gezielte Beeinflussung
der Dynamik kohärenter Wellenpakete, welche durch die in Abschnitt 3.1.2 erläuterten
Bewegungsgleichungen beschrieben werden. Den Wechselwirkungsterm kann man in
87 Rb Kondensaten nur durch die Änderung der Dichte des Ensembles verändern. Von der
Möglichkeit der Änderung der Streulänge sei hier abgesehen. Das resonanzartige Verhalten
der Streulänge bei Änderung eines homogenen äußeren Magnetfeldes bezeichnet man
dabei als Feshbachresonanz. Am MPQ in München wurden mehrere dieser Resonanzen
für 87 Rb gefunden[108], allerdings ist noch unklar, ob eine davon breit genug ist um die
Streulänge definiert einstellen zu können. Was die Theorie dieser Resonanzen betrifft,
sei hier auf die Literatur verwiesen [109].
Wie im Folgenden erläutert wird, benutzen wir stattdessen die Möglichkeit die Dispersion
der Wellenpakete durch ein äußeres periodisches Potential zu ändern. Bevor
darauf näher eingegangen wird, soll zunächst der Begriff der Dispersion anhand einer
freien Materiewelle rekapituliert werden.
3.2.1 Dispersion freier Teilchen
Unter Dispersion versteht man ganz allgemein das Zerfließen eines Wellenpakets endlicher
räumlicher Breite, wenn die Ursache dafür in der Abhängigkeit der Gruppengeschwindigkeit
vom Wellenvektor liegt. Da Licht im Vakuum eine konstante Geschwindigkeit
besitzt, dispergiert es nur in Materie. Im Gegensatz dazu ist die Dispersion
freier Materiewellen wohlbekannt und eines der Paradebeispiele der Quantenmechanik.
Auf Grund der Heisenbergschen Unschärferelation besitzt jedes lokalisierte Wellenpaket
eine endliche Impulsunschärfe. Da die verschiedenen Impulskomponenten verschiedene
(Gruppen-)Geschwindigkeiten v = p/m = k/m besitzen, verbreitert sich das Wellenpaket
im Laufe der Zeit. Diese Aussage erscheint so selbstverständlich, dass man sie als
trivial ansehen könnte. Sie ist es jedoch nicht, wie die Überlegungen in Abschnitt 3.2.2
zeigen.
Wie die Dispersion mit der Masse der Materiewellen verknüpft ist soll anhand des
eindimensionalen gaußschen Wellenpakets
)
Ψ(x, 0) ∝ exp
(− x2
exp (ik 0 x) (3.32)
der anfänglichen Breite σ 0 erläutert werden, k 0 stellt dabei den Wellenvektor dar, welcher
über p = k 0 mit dem Impuls verknüpft ist. Die lineare Schrödingergleichung
σ 2 0
i ∂ 2
Ψ(x, t) = −
∂t 2m
∂ 2
Ψ(x, t). (3.33)
∂x2 wird gelöst durch ebene Wellen Ψ(x, t) = Ψ(x, t = 0) exp (−i/ E t). Da die Energie
E(k) = p 2 /2m = 2 k 2 /2m in Abhängigkeit des Wellenvektors gegeben ist, löst man
die Schrödingergleichung im Impulsraum und erhält nach Rücktransformation in den
Ortsraum,
( )
)
Ψ(x, t) = F T −1 (F T (Ψ(x, 0) exp − ik2 t
)) ∝ exp
(− x2
2m
σ(t) 2 exp (ik 0 x) (3.34)