Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

3.2. BEEINFLUSSUNG DER DYNAMIK 75
diesem Zeitpunkt beginnt die Beschleunigung des Potentials. Durch eine lineare Rampe
des Frequenzunterschieds δν(t) = αt werden die Atome im Impulsraum an die gewünschte
Position k = mδνλsw
2
verschoben. Die Dauer t 2 dieser Beschleunigungsphase liegt im
Bereich zwischen 1.4 ms und 3 ms.
Damit bei dieser Präparation Übergänge der Atome in höhere Energiebänder vermieden
werden, muss der Prozess das Kriterium für Adiabatizität
∣ 〈n, k| d ∣ ∣∣∣
2
dt |1, k〉
≪ |E n(k) − E 1 (k)| 2
2 (3.48)
erfüllen [119], wobei |n, k〉 die Blochzustände bezeichnet. Dabei sind Übergänge zwischen
benachbarten Bändern besonders kritisch. Daher wird im Folgenden nur n = 2
betrachtet. Vernachlässigt man die Nichtlinearität so kann man dieses Kriterium in der
Näherung schwacher Potentiale V 0 ≤ 2E r analytisch auswerten [120]. Bei einer Potentialtiefe
V 0 = E r muss für die Dauer der linearen Amplitudenrampe im Zentrum der
Brillouinzone nach Gl. 3.48 t 1 ≫ 1/32 √ 2E r / = 0.9 µs gelten. Man könnte die Amplitudenrampe
noch sehr viel kürzer als im Experiment wählen.
Beschleunigt man das Potential, so ist die Adiabatizitätsbedingung umso schwerer zu
erfüllen, je kleiner |E 2 (k) − E 1 (k)| ist. Am kritischsten ist demnach eine Beschleunigung
an die Bandkante oder über diese hinaus. Wertet man Gl. 3.48 für diesen Fall aus, so
erhält man folgende Bedingung für die Dauer t 2 der Beschleunigungsphase
t 2 (k, V 0 ) ≫ 16mE rk
k 3 rV 2
0
= 0.34 ms k[k r]
V 2
0 [E2 r ]
(3.49)
V 0
Nα nl g|Ψ| 2 max
Dieses Forderung ist schwieriger zu erfüllen, als diejenige für die Amplitudenrampe,
da man die Beschleunigungszeit nicht beliebig lang machen kann. Damit die Dynamik
der Materiewelle nicht wesentlich durch diese Phase beeinflusst wird, sollte t 2 ≃ 2 ms
kürzer als die charakteristische Zeitskala der Wellenpaketdynamik sein. Diese kann im
Experiment durchaus in der Größenordnung von einer ms liegen. Man hat dies in der
Beurteilung der experimentellen Ergebnisse zu berücksichtigen.
Mit Ausnahme der Bandkante (wegen |E 2 (k r , V 0 = 0) − E 1 (k r , V 0 = 0)| = 0), könnte
man die Präparation auch durchführen, indem man ein laufendes Gitter der gewünschten
Geschwindigkeit einschaltet. Dies ist nicht geschehen, da ein wesentlicher Teil der
Experimente im Bereich der Bandkante durchgeführt wurde.
Berücksichtigt man die Wechselwirkung zwischen den Atomen, so wurde von Wu und
Niu gezeigt, dass sich die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs in höhere Bänder erhöht
[121, 122]. Als wesentlicher Parameter hat sich das Verhältnis von Potentialtiefe zu Nichtlinearität
η =
herausgestellt. Der lineare Fall liegt für η ≫ 1 vor. Im Bereich
η ≥ 1 wurden die Korrekturen der Tunnelwahrscheinlichkeit in [121] für verschiedene η
numerisch berechnet. Falls η < 1 wird, bricht die Beschreibung durch lineare Blochwellen
zusammen. An der Bandkante entsteht eine Schleife in der Bandstruktur, die die adiabatische
Präparation von Atomen mit Quasiimpulsen oberhalb der Bandkante verhindert
[121, 123, 124]. Im Experiment wurden die Potentialhöhen und die Beschleunigungszeit
t 2 so gewählt, dass kein signifikanter Anteil der Atome ins zweite Band gelangt. Zur
Eichung der Potentialtiefe kann hingegen gerade die nicht adiabatische Präparation der
Materiewelle benutzt werden (s. Abschnitt 4.1.2).