Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

3.2. BEEINFLUSSUNG DER DYNAMIK 71
nl
1.6
1.4
3.0 E r
2.0 E r
1.0 E r
0.5 E r
1.2
1
-1 -0.5 0 0.5 1
k 0/kr
Abbildung 3.2: Abhängigkeit der Korrekturfaktors α nl vom Quasiimpuls für verschiedene
Potentialtiefen V 0 . α nl wächst sowohl mit steigendem Quasiimpuls (bis zur Bandkante), als auch
mit steigender Potentialtiefe monoton. Für kleine Potentialtiefen und Quasiimpulse im Zentrum
der Brillouinzone ist die Korrektur vernachlässigbar klein. Im Bereich sehr tiefer Potentiale
V 0 > 10E r würde die Abhängigkeit vom Quasiimpuls verschwinden.
herleiten, indem man den effektive Masseformalismus benutzt [112]. Sie wurde für Materiewellen
von Steel et al. [113] formuliert, die ausführliche Herleitung ist in der Publikation
von Pu et al. [114] nachzulesen. Eine alternative Ableitung nach der multiple ”
scales“ Methode findet sich in der Diplomarbeit von K.M. Hilligsøe [115], sie ist von
der Ableitung der Einhüllendengleichung für optische Pulse in Glasfasern mit periodisch
moduliertem Brechungsindex (einem nahezu identischen Problem) bekannt [116, 117].
Das Potential V (x) in Gl. 3.46 beinhaltet nicht mehr das periodische Potential, sondern
nur noch dasjenige, welches das Wellenpaket in seiner Ausdehnung beschränkt,
für eine freie Propagation verschwindet dieser Term. Der Nichtlinearitätsterm NG(|f| 2 )
wurde hier formal wieder eingefügt. Das nachträgliche Einfügen dieses Terms ist nur
solange eine gute Näherung, solange die Nichtlinearität als kleine Störung betrachtet
werden kann. Die maximale Nichtlinearität muss kleiner als die Bandaufspaltung zwischen
den ersten beiden Bändern sein (s. Abschnitt 3.2.5). Diese Bedingung war bei den
durchgeführten Experimenten immer erfüllt.
Die Funktion G(|f| 2 ) entspricht je nach Näherung den nichtlinearen Ausdrücken aus
Gl. 3.13 oder 3.17. Dieser Wechselwirkungsterm wird modifiziert durch die Größe
α nl (n, k, V 0 ) = 1 L
∫ L/2
−L/2
dx |u n,k0 (x)| 4 . (3.47)
Man berücksichtigt dadurch die geänderte mittlere Nichtlinearität auf Grund der Modulation
der Wellenfunktion im periodischen Potential. In Abb. 3.2 ist α nl in Abhängigkeit
vom Quasiimpuls k 0 für verschieden Potentialtiefen gezeigt. Im untersten Band steigt
α nl (k 0 , V 0 ) stetig mit wachsendem Quasiimpuls, wobei die Korrekturen für kleine Potentialtiefen
und Quasiimpulse im Zentrum der Brillouinzone vernachlässigbar klein sind.
Am Rand der Bandkante ist die Wellenfunktion u 1,kr in der Näherung schwacher Potentiale
eine Sinusfunktion und somit ”
maximal“ moduliert, dort erhält man α nl (k r ) = 1.5.
Verlässt man den Bereich schwacher Potentiale so steigt α nl stetig mit wachsender Poten-