Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

3.2. BEEINFLUSSUNG DER DYNAMIK 73
a
9
b
1
E/E r
v/v r
E/E r
8
7
6
5
4
c
d
0.5
0
1
0
-1
2
3
2
1
0
eff 0
m 0
m /m
e
-1 0 1
-1 0 1
0
-2
0
-2
-4
-6
k/k r
k/k r
Abbildung 3.3: (a) Dispersionsrelation E(k) für die untersten drei Bänder bei einer Potentialtiefe
von V 0 = E r . Während das dritte Band als frei angesehen werden kann, weichen die
unteren beiden am Rand der Brillouinzone (k = k r ) von der freien Parabel E ∝ k 2 ab. (b) Das
unterste Band (schwarz) vergrößert dargestellt. Die Näherung schwacher Potentiale (grün) ist
fast identisch mit der exakten Relation. Beide Kurven weichen erst am Rand der Brillouinzone
von der freien Parabel (blau gestrichelt) ab. Die Kurven sind zur besseren Unterscheidung vertikal
versetzt. (c) Die Gruppengeschwindigkeit v g zeigt am Rand der Bandkante ebenso wie die Masse
(d) signifikante Abweichungen von den Werten für freie Teilchen (jeweils gestrichelte Linien).
In Bild (d) ist der Dispersionsparameter β = 1/m eff aufgetragen. Er veranschaulicht direkt, ob
die lineare Dispersion verlangsamt (|β| < 1) oder verstärkt ist (|β| > 1).
ges Minimum für k = k r . In der Näherung schwacher Potentiale beträgt die Masse dort
m eff =
s
s−8 m 0, wobei wiederum s := V 0 /E r die skalierte Potentialtiefe bezeichnet. In
Abb. 3.3 (e) ist der Dispersionsparameter β = 1/m eff aufgetragen. Er veranschaulicht
direkt, ob die lineare Dispersion verlangsamt (|β| < 1) oder verstärkt ist (|β| > 1).
Man kann demnach in der Bandstruktur drei ausgezeichnete Punkte erkennen. Im
Zentrum des Impulsraums (k = 0) ist die Dynamik nahezu unverändert. Hingegen ist für
k = k ∞ die Dispersion vollkommen unterdrückt (β = 0), ein Wellenpaket zerfließt dort