Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

3.1. BOSE-EINSTEIN KONDENSATION 59
in Abhängigkeit der Atomzahl und der geometrisch gemittelten Fallenfrequenzen ω. Typischerweise
beträgt T c im Experiment ≃ 50 nK (N = 10 4 , ω = 2π × 50 Hz). Der Anteil
an kondensierten Atomen N 0 beträgt unterhalb von T c :
N 0
N = 1 − ( T
T c
) 3
(3.8)
Bei T = 0.37 T c sind bereits weniger als 5 Prozent der Atome nicht kondensiert, es liegt
ein fast reines Kondensat vor.
Wechselwirkende, endlich große Kondensate in einer Dimension
Die zuletzt genannten Formeln 3.7 und 3.8 gelten für ideale Bosonen im thermodynamischen
Limes 1 in drei-dimensionalen harmonischen Fallen. Für wechselwirkende Bosonen
sind sie mit kleinen Korrekturen ebenso gültig, solange die Bedingung für ein verdünntes
Gas ρa 3 ≪ 1 erfüllt ist. Die s-Wellen-Streulänge beträgt für 87 Rb a = +5.32 nm
[90]. Während für ideale Systeme der Vielteilchen-Grundzustand das Produkt von N
Einteilchen-Zuständen ist, gibt es für reale Systeme Beimischungen anderer Zustände.
Diese Beimischungen nennt man quantum depletion“, sie betragen für Alkalimetalle
”
aber weniger als ein Prozent [9]. In diesem Sinne ist das System schwach wechselwirkend.
Im Gegensatz dazu beträgt die quantum depletion“ in suprafluidem Helium über
”
90 Prozent, die Wechselwirkung zwischen den Atomen ist sehr stark und verschleiert die
Charakteristika der Bose-Einstein-Kondensation [91].
In Systemen mit endlich großer Atomzahl ist der Bruchteil kondensierter Atome
kleiner als im thermodynamischen Limes. Allerdings ist die Korrektur (gültig für isotrope
Fallen)
( )
N 0 T 3
N = 1 − −
3ζ(2) ( ) T 2
T c 2ζ(3) 2/3 N −1/3 (3.9)
T c
selbst für N = 1000 und T = 0.25×T c kleiner als ein Prozent. Die in Kapitel 4 gezeigten
Experimente wurde alle mit Bose-Einstein Kondensaten ohne erkennbaren thermischen
Anteil durchgeführt, die genannten Korrekturen sind demnach vernachlässigbar.
Es ist bekannt, dass es in ein- und zweidimensionalen homogenen Systemen im
thermodynamischen Limes keine Bose-Einstein Kondensation gibt [5]. In harmonischen
Fallen jedoch kann sie zumindest für den 2D-Fall beobachtet werden. Auch in einer
Dimension gibt es eine makroskopische Besetzung des Grundzustands, allerdings nur in
endlich großen Systemen [92]. Die Übergangstemperatur ergibt sich in diesem Fall zu
k B T 1d = ω
N
ln(2N) . (3.10)
Es hat sich gezeigt, dass damit keineswegs eine Erhöhung der kritischen Temperatur
erzielt werden kann, da die Anzahl der Atome in einem eindimensionalen System beschränkt
ist (s. Abschnitt 3.1.2). Einige der im folgenden Kapitel diskutierten Experimente
wurden im Übergangsbereich zu eindimensionalen Situation durchgeführt. Die
von Ketterle und van Druten [92] angestellten Überlegungen zeigen, dass auch in diesem
Fall kohärente Wellenpaketdynamik beobachtet werden kann.
1 Den thermodynamischen Limes erhält man für den Fall N → ∞ und ω → 0, wobei für das Produkt
Nω = const gilt.