Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

3.1. BOSE-EINSTEIN KONDENSATION 61
Der Übergang zur eindimensionalen GPE
Bevor die experimentellen Bedingungen diskutiert werden, die eine Beschreibung durch
eine eindimensionalen Gross-Pitaevskii-Gleichung erlauben, soll diese zunächst hergeleitet
werden. Dazu wird im Folgenden angenommen, dass sich das Kondensat im transversalen
Grundzustand des parabolisch genäherten Wellenleiterpotentials V ⊥ (y, z) =
m
2 ω2 ⊥ (y2 +z 2 ) befindet. Die Wellenfunktion kann als Produkt eines longitudinalen und eines
transversalen Anteils Ψ(x, y, z) = Ψ ⊥ (y, z)Ψ(x) geschrieben werden. Als transversale
Wellenfunktion wird der Grundzustand des harmonischen Oszillators, eine Gaußverteilung
mit der Oszillatorlänge σ ⊥ = √ /mω ⊥ (1/e-Breite) verwendet. Der Produktansatz
wird in die dreidimensionale GPE 3.12 eingesetzt und über die transversalen Freiheitsgrade
integriert. Dies führt auf folgende 1D Gross-Pitaevskii-Gleichung:
i ∂ [
∂t Ψ(x, t) = − 2 ∂ 2
]
2m ∂x 2 + V ext(x) + g 1d N |Ψ(x, t)| 2 Ψ(x, t). (3.13)
Die eindimensionale Kopplungskonstante
g 1d = g 3d
= 2aω ⊥ (3.14)
A ⊥
ergibt sich aus der dreidimensionalen Konstanten durch Division mit der effektiven transversalen
Fläche
[∫
∫
] −1
A ⊥ = dy |Ψ ⊥ (y)| 4 dz |Ψ ⊥ (z)| 4 = 2πσ⊥ 2 . (3.15)
Gleichung 3.12 ist (ohne externes Potential) aus der nichtlinearen Optik wohl bekannt.
Ihr Analogon beschreibt dort die Ausbreitung kurzer Pulse in Glasfasern, worauf in Abschnitt
3.3.1 genauer eingegangen wird. Es stellt sich nun die Frage, wann die Annahme
eines zeitlich konstanten transversalen Zustandes gerechtfertigt ist.
Voraussetzungen für quasi-eindimensionale Situationen
Ohne den Wechselwirkungsterm wäre die 3d-Gross-Pitaevskii-Gleichung separabel, der
gemachte Ansatz wäre uneingeschränkt gültig. Da die Nichtlinearität jedoch die Dynamik
in den verschiedenen Raumrichtungen koppelt, ist der Produktansatz nur dann
eine gute Näherung solange die maximale nichtlineare Energie sehr viel kleiner als die
Energie ω ⊥ des ersten transversal angeregten Zustandes ist. Nur dann befindet sich das
Kondensat, unabhängig von der Dichte, im Grundzustand des harmonischen Potentials.
Diese Forderung kann näherungsweise 3 in eine Bedingung an die maximale lineare Dichte
N(|Ψ(x, t)| 2 ) max umgeschrieben werden.
g 1d N(|Ψ(x, t)| 2 ) max ≪ ω ⊥ ⇔ N(|Ψ(x, t)| 2 ) max ≪ 1
2a = 94 1
µm . (3.16)
Ist diese erfüllt, so ist das System dynamisch eindimensional, man sagt auch quasieindimensional
4 . Wellenpakete, deren 1/e-Breite 15 µm nicht überschreitet, dürfen höchstens
1000 Atome enthalten, damit eine Beschreibung durch die 1d-GPE gerechtfertigt ist.
3 Die Näherung besteht gerade in der Annahme, dass der transversale Zustand nicht durch die Wechselwirkung
verbreitert wird.
√ 4 Als eindimensional im engeren Sinne bezeichnet man Systeme in denen die healing length“ ɛ =
”
kleiner als die Streulänge a ist. Dies führt zu einer Fermionisierung der Bosonen durch die repulsive
1
8πρa
Wechselwirkung. Man spricht von einem Tonks-Gas oder dem Tonks-Girardeau Regime [98, 99].