Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

72 KAPITEL 3. THEORIE
tialtiefe V 0 für alle Quasiimpulse. Im Bereich sehr starker Potentiale V 0 > 10E r ( ”
Tight
Binding regime“) verschwindet die Abhängigkeit vom Quasiimpuls. Die Dynamik des
BEC wird dann nicht mehr durch die besprochenen Gleichungen sondern durch eine
diskrete nichtlineare Schrödingergleichung beschrieben [118].
Die Gleichung 3.46 besagt in der dargestellten ”
effektiven Masse-Näherung“ demnach,
dass sich eine Materiewelle in einem periodischen Potential genauso entwickelt wie
es ein freies Teilchen mit der geänderten Masse m eff (k) 11 und der Gruppengeschwindigkeit
v g (k) tun würde. Die Auswirkungen der Nichtlinearität werden erst in Abschnitt
3.3 diskutiert. Zunächst wird die geänderte lineare Dispersion besprochen.
3.2.5 Lineare Dynamik im periodischen Potential
Die lineare Dynamik der Materiewellenpakete wird bestimmt durch die Dispersionsrelation
E(k). Da bei den durchgeführten Experimenten die Atome nur im untersten Band
präpariert werden, wird dieses im Folgenden ausführlich diskutiert. In Abb.3.3(a) ist die
numerisch bestimmte Dispersionsrelation unter Berücksichtigung von 9 Brillouinzonen
für die drei untersten Bänder, bei einer Potentialtiefe von V 0 = E r in Abhängigkeit des
Wellenvektors dargestellt. Der Wellenvektor ist dabei auf denjenigen an der Bandkante
(k r ) und die Energie auf die Rückstoßenergie E r skaliert. Das dritte Band (grün) wird
nur sehr schwach an der unteren Bandkante verändert, es kann als freies Band angesehen
werden (d.h. die Dispersion ist dort nicht geändert). Auch die unteren beiden Bänder
(blau und schwarz) unterscheiden sich im Zentrum der Brillouinzone (um k=0) über
weite Bereiche nicht von der freien Parabel E(k) = 2 k 2 /2m. Hingegen gibt es in der
Nähe der Bandkante bei k/k r = ±1 signifikante Abweichungen.
Aus diesen Abweichungen von der freien Dispersionsrelation ergibt sich die komplette
geänderte Dynamik von Materiewellen in periodischen Potentialen. Dieser Bereich in den
Abbildungen (b)-(e) gelb unterlegt.
In Abb. 3.3(b) ist nochmals die numerisch berechnete Bandstruktur des untersten
Bandes (schwarz) zusammen mit der analytischen Näherung für schwachen Potentiale
(grün) gezeichnet. Die Übereinstimmung ist so gut, dass zur besseren Unterscheidung
letztere vertikal versetzt dargestellt ist. Bis etwa 0.5 k r stimmen beide sehr gut mit der
freien Parabel (blau, gestrichelt) überein. Bei k ∞ ≈ 0.8 k r verschwindet die Krümmung
der Dispersionsrelation (dies entspricht dem Beginn des gelb markierten Bereiches), im
Bereich bis zur Bandkante ist diese dann negativ. An der Bandkante existiert eine Energielücke
(engl. ”
band gap“) zum zweiten Band, die für kleine Potentiale ∆E = V 0 /2
beträgt.
Die Auswirkungen auf die Gruppengeschwindigkeit und auf die Masse, die entsprechend
den Gl. 3.42 und 3.43 berechnet werden, sind in den Abbildungen (c) und (d) zu
sehen. Beide Größen sind auf ihre ”
natürlichen“ Werte (v r = k r /m und m 0 ) von freien
Teilchen mit Quasiimpuls k r skaliert. Die Funktionen für freie Teilchen sind wiederum
gestrichelt eingezeichnet. Um k = 0 herum gibt es wie für E(k) praktische keine Abweichungen.
An der Stelle verschwindender Krümmung von E(k) erreicht die Gruppengeschwindigkeit
ihr Maximum, während die Masse dort divergiert. Für weiter zunehmende
Wellenvektoren sinkt die Gruppengeschwindigkeit wieder, um direkt an der Bandkante
zu verschwinden, Die Masse ist in diesem Bereich negativ und erreicht ihr betragsmäßi-
11 Der Index am zentralen Wellenvektor wird im Folgenden nicht mehr ausgeschrieben: k 0 → k.