Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

3.4. NUMERISCHE LÖSUNGEN 81
die Operatoren ˆD und ˆN nicht kommutieren, wird bei der letzten Aufteilung nach der
Baker-Hausdorff-Formel ein Fehler gemacht, der jedoch für hinreichend kleine Zeitschritte
dt vernachlässigbar ist. Da ˆN im Ortsraum diagonal ist, ergibt sich für diesen ersten
Integrationsschritt:
f(x, t + dt) = exp(− i ˆNdt)f(x, t) = exp( i V (x) + G(|f|2 )dt)f(x, t) (3.60)
Hingegen ist der Dispersionsterm im Impulsraum diagonal ist. Er wird deshalb nach
einer Fouriertransformation f(k, t) = F T (f(x, t)) in diesem ausgewertet.
f(k, t + dt) = exp(− i ˆDdt)f(k, t) = exp(− i E(k)dt)f(k, t) (3.61)
Die Rücktransformation in den Ortsraum schließt die infinitesimale Zeitpropagation
ab 21 .
Die bisher beschrieben Split-Step Methode umfasst noch keine Näherungen, sie ist für
beliebige Operatoren ˆD und ˆN anwendbar. Die Berechnung ist besonders einfach, wenn
die Operatoren im Impuls- bzw. Ortsraum diagonal sind. Man kann sie für die Propagation
der Wellenfunktion ψ(x, t) oder der Einhüllenden f(x, t) benutzen. Auf Näherungen
wird verzichtet, indem man die Wellenfunktion ψ(x, t) propagiert, wobei das periodische
Potential V sw (x, t) = V 0 sin(2k r x−∆ωt) explizit im Operator ˆN berücksichtigt wird. Die
in Abschnitt 3.2.4 beschriebenen Näherungen werden folgendermaßen implementiert.
• Man beschränkt sich auf die Dynamik der Einhüllenden f(x, t) im untersten Band,
indem man den Einfluss des periodischen Potentials durch die Dispersionsrelation
E(k) im Operator ˆD beschreibt.
• Die Näherung einer effektiven Masse bekommt man, indem man die vollständige
Dispersionsrelation E(k) um den betrachteten zentralen Wellenvektor parabolisch
nähert: E(k) = v g k + 2 (k−k c) 2
2m eff
Das Programm zur numerischen Simulation wurde mit der Softwarepaket ”
MAT-
LAB“ geschrieben. Der 400 µm große Ortsraum wurde dazu in 2 14 Punkte mit einem
räumlichen Abstand von dx = 25 nm eingeteilt. Der Impulsraum ist in diesem Fall 16
Brillouinzonen breit, wobei jede in 2 10 Punkte unterteilt ist. Die Fouriertransformation
kann somit durch den schnellen FFT-(Fast Fourier Transform) Algorithmus durchgeführt
werden 22 . Die Dauer der Zeitschritte (200 ns < dt < 20 µs) wurde entsprechend den experimentellen
Parametern so gewählt, dass für die maximale Phasenentwicklung pro
Zeitschritt | i Ĥdt| max ≪ 2π gilt.
3.4.2 Grundzustandsberechnung - Propagation in imaginärer Zeit
Auch die Startwellenfunktion ψ(x, t = 0) des Ensembles, die dem Grundzustand im
gewählten Potential entspricht, muss numerisch berechnet werden. Eine einfache Möglichkeit
dazu basiert auf der Methode der Propagation in imaginärer Zeit. Durch eine
21 Es sei noch angemerkt, dass man den Fehler pro Zeitschritt von der Ordnung dt 2 auf dt 3 verbessern
kann, indem man den ersten Porpagationsschritt im Ortsraum in zwei Teilschritte der Länge dt/2
unterteilt, wobei der zweite Teilschritte erst am Ende der gesamten Simulation durchgeführt wird.
22 Der FFT- Algorithmus ist besonders effizient, falls die transformierten Vektoren eine Anzahl von
Punkten besitzen, die einer Potenz von zwei entspricht.