Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

3.2. BEEINFLUSSUNG DER DYNAMIK 69
3.2.3 Stationäre Lösungen im periodischen Potential
Das Bloch’sche Theorem [110] besagt, dass die stationären Lösungen der Gleichung 3.38,
welche in ihrer zeitunabhängigen Form als Mathieugleichung bezeichnet wird, folgende
Form annehmen:
Ψ(x) = φ n,k (x) = u n,k (x) exp (ikx) , (3.39)
wobei die Funktionen u n,k (x) = u n,k (x + d), dieselbe Periode d = π k r
zeigen, wie das
äußere Potential [111]. Die Energieeigenwerte E n,k = E n,k+2kr bilden eine Bandstruktur
mit dem Bandindex n für jeden Wert des Wellenvektors k, der auch als Quasiimpuls 9 bezeichnet
wird. Da auch die Bandstruktur die Periode des Gitters besitzt, kann man sich
auf Wellenvektoren innerhalb der ersten Brillouinzone [−π/d < k ≤ +π/d] beschränken.
Die Bestimmung der Energieeigenwerte für jeden Quasiimpuls k erfolgt nach den Methoden
∑
der Festkörperphysik [110]. Kurz gefasst: man entwickelt die Funktionen u n,k (x) =
K c k−Ke −iKx und das Potential V (x) = 1/4·V 0 exp (2ik r x)+1/4·V 0 exp (−2ik r x) nach
ebenen Wellen und löst die in den Impulsraum transformierte resultierende Gleichung
2
2m (k − K)2 c k−K + 1 4 V 0c k−K−Q + 1 4 V 0c k−K+Q = E(k)c k−K (3.40)
für jeden Wellenvektor k. Dabei wurde verwendet, dass das periodische Potential nur
ebene Wellen koppelt, die sich um vielfache des Gittervektors K = m · 2k r (m ∈ N)
unterscheiden. Numerisch löst man das Problem durch Diagonalisierung der Eigenwertmatrix
in Gl. 3.40 unter Berücksichtigung einer endlichen Zahl von Gittervektoren K.
Man erhält die Eigenwerte E n,k und als Eigenvektoren die Entwicklungskoeffizienten
c k−K .
Die Näherung schwacher Potentiale
Die Potentialtiefe V 0 betrug bei den durchgeführten Experimenten 0.3 E r bis 8 E r , wobei
E r = 2 kr
2
2m
die Photonrückstoßenergie darstellt, sie entspricht der Energie eines freien
Teilchens mit dem Wellenvektor k r . Für schwache Potentiale V 0 < 2 E r werden nur die
ersten beiden Bänder signifikant geändert, alle höheren Bänder entsprechen der Dispersionsrelation
freier Teilchen. Es genügt demnach in der Entwicklung der Blochfunktionen
nach ebenen Wellen nur die Impulskomponenten der ersten beiden Brillouinzonen zu
berücksichtigen. Daraus erhält man gute analytische Näherungen für die beiden Bänder.
Aus den Energieeigenwerten des untersten Bandes
E 0 (κ)
E r
= 1 + (κ − 1) 2 − √ 4(κ − 1) 2 + s 2 /16 (3.41)
kann man wiederum die Gruppengeschwindigkeit
(
)
v g (κ)
= 1 ∂E(κ)
2
= (κ − 1) 1 − √
v r 2E r ∂κ
4(κ − 1) 2 + s 2 /16
(3.42)
9 Der Zusatz ”
quasi“ leitet sich von der Tatsache ab, dass es im periodischen Potential keine eineindeutige
Beziehung zwischen Impuls und Wellenvektor gibt.