Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

3.1. BOSE-EINSTEIN KONDENSATION 65
Es wird sich im Abschnitt 3.3 zeigen, dass atomare Solitonen nur entstehen können, wenn
kinetische und Wechselwirkungsenergie von gleicher Größenordnung sind. Das Thomas-
Fermi Limit ist in diesem Fall demnach nicht erfüllt. Für diesen Übergangsbereich kann
die Größe des Grundzustands nur numerisch berechnet werden.
Numerische Berechnung des Grundzustands
Die genaueste Methode zur Berechnung des Grundzustands besteht in der numerischen
Lösung der stationären 3d-Gross-Pitaevskii-Gleichung, wobei nach Salasnich et al.[101]
auch die Lösung der 1d nichtpolynominalen Schrödingergleichung hervorragende Ergebnisse
bei ungleich geringerem Aufwand liefert. Die dazu verwendete Methode der
Propagation in imaginärer Zeit (iT) wird im Abschnitt 3.4 erläutert. Eine einfachere
Näherungsmethode wurde von Baym und Pethick beschrieben [106] 7 . Wie bei der Herleitung
der NPSE nimmt man dabei in erster Näherung an, dass das Dichteprofil einer
Gaußverteilung folgt. Der Verbreiterung durch die repulsive Wechselwirkung trägt man
Rechnung, indem man in jeder Raumrichtung eine größere Ausdehnung annimmt, die
dem Grundzustand einer effektiv reduzierten Fallenfrequenz ω i ′ entspricht. Man minimiert
dazu das Energiefunktional
E(ω ′ x, ω ′ y, ω ′ z) = N ∑ i
ω ′ i
4 + ∑ i
ω 2 i
4ω i ′
+ Na√ m
√
2π
√ω ′ xω ′ yω ′ z ; i = x, y, z (3.31)
bei fester Atomzahl und wirklichen“ Frequenzen ω ” i nach den gesuchten
√
Frequenzen ω i
′
und erhält somit die Grundzustandsausdehnung gemäß σ i ′ =
. Im Energiefunktional
entspricht dem ersten Term die kinetische, dem zweiten die potentielle und dem
mω i
′
dritten die Wechselwirkungsenergie. Eine geeignete einfache Routine zur Minimierung
ist im MATLAB-Programmpaket enthalten. Der Nachteil dieser Methode besteht wiederum
in der Annahme gaußscher Dichteverteilungen, welche für hohe Atomzahlen zwar
ungefähr die richtige Größe, aber nicht die richtige Form beschreiben kann.
Vergleich der Grundzustandsgrößen
In Bild 3.1 sind die Ergebnisse der diskutierten Näherungsverfahren miteinander verglichen.
Die Dichteverteilungen in der linken Hälfte entsprechen einer typischen Situation
für Experimente welche zur Beeinflussung der Materiewellendynamik in Abschnitt
4.2 durchgeführt wurden. Bei 3 × 10 4 Atomen in einer Falle mit Fallenfrequenzen von
ω y,z = 2π × 85 Hz und ω x = 2π × 20 Hz beträgt das Verhältnis E nl /E kin ≃ 1400 und das
Verhältnis E nl /(ω ⊥ ) ≃ 15. Die 3d-Thomas-Fermi Näherung (grün) entspricht in diesem
Fall nahezu der wirklichen Verteilung [5]. Die beiden numerischen Modelle (Propagation
in imaginärer Zeit (iT) (schwarz) und Methode nach Baym (rot)) approximieren deren
Breite gut. Ihre Form stimmt hingegen weniger gut mit der Thomas-Fermi-Parabel
überein. Die 1d-TF-Näherung (schwarz, gestrichelt) ist für diese Parameter nicht geeignet,
sie erzeugt eine deutlich zu große Breite. Ein ideales Gas (blau) würde hingegen
eine wesentlich schmälere Verteilung aufweisen. Für 3000 Atome, im rechten Teil der
Grafik gezeigt, wird die Dichteverteilung sehr gut durch die numerische Methode (iT)
7 In dieser Veröffentlichung wird eine radialsymmetrische Situation angenommen, die Erweiterung auf
eine anisotrope Falle in allen drei Raumrichtungen ist jedoch einfach.