Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

58 KAPITEL 3. THEORIE
wobei µ das chemische Potential bezeichnet. In einem großkanonischen Ensemble erhält
man daraus die Gesamtzahl der Teilchen
und die Energie
N = ∑ i
E = ∑ i
exp
exp
1
(
ɛi −µ
k B T
ɛ
( i
ɛi −µ
k B T
)
− 1
)
− 1
(3.2)
(3.3)
des Systems. Der Grundzustand mit der Energie ɛ 0 wird von einer makroskopischen Anzahl
an Teilchen besetzt, sobald sich das chemische Potential der Grundzustandsenergie
nähert (µ → ɛ 0 ). Man spricht allerdings nur von Bose-Einstein Kondensation, wenn der
Phasenübergang einsetzt solange die thermische Energie noch sehr viel größer als die
Grundzustandsenergie (k B T ≫ ɛ 0 ) ist. Ob und wann dies geschieht hängt vom Eigenenergiespektrum
ɛ i ab, in welches auch die Form des Potentials und die Dimensionalität
des Systems eingehen.
In den Gleichungen 3.1-3.3 ist ein großer Teil der Physik kondensierter idealer Gase
enthalten. Man bestimmt durch sie z.B. die Übergangstemperatur, den Anteil kondensierter
Atome und die spezifische Wärme. Die Übergangstemperatur ergibt sich, indem
man den Ausdruck
N − N 0 = ∑ i≠0
1
exp
(
ɛi −ɛ 0
k B T
∫ ∞
) ; N − N 0 =
− 1
ɛ≠ɛ 0
g(ɛ)
exp
(
ɛ−ɛ0
k B T
) dɛ (3.4)
− 1
für die Anzahl nicht kondensierter Atome auswertet. Man hat dabei in üblicher Weise
die Teilchenzahl N 0 im Kondensat aus Gl. 3.2 absepariert und das chemische Potential
durch die Grundzustandsenergie ersetzt. Analytische Ausdrücke ergeben sich durch eine
halbklassische Betrachtungsweise, in der man statt der Summe das Integral über die
Modendichte g(ɛ) berechnet [5] (zweite Formulierung in Gl. 3.4).
Für ein homogenes dreidimensionales System bekommt man daraus die bereits in der
Einleitung erwähnte Kondensationsbedingung
Ω = ρλ 3 dB = ζ(3/2) > 2.613 (3.5)
für die Phasenraumdichte [88]. Hierbei ist ρ die Dichte der Bosonen,
λ dB =
h
√ 2πmkB T
(3.6)
die thermische de Broglie-Wellenlänge und ζ(x) ist die Riemannsche ζ−Funktion. Die
Größe λ dB kann als die räumliche Ausdehnung der, den Atomen zugeordneten, Materiewellen
interpretiert werden. Anschaulich setzt die Kondensation demnach ein, wenn
die thermische de Broglie-Wellenlänge in die Größenordnung des mittleren Teilchenabstands
kommt, oder anders ausgedrückt, wenn die Wellenfunktionen der einzelnen Atome
anfangen zu überlappen“.
”
Für Bosonen in einer 3-dimensionalen harmonischen Falle, wie sie in dieser Arbeit
betrachtet werden, erhält man aus Gl. 3.4 eine Bedingung für die kritische Temperatur
( ) N 1/3
k B T c = ω
= 0.94ωN 1/3 (3.7)
ζ(3)