Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

60 KAPITEL 3. THEORIE
3.1.2 Die Dynamik kohärenter Wellenpakete
Nachdem bisher die grundlegenden statistischen Eigenschaften des BEC-Übergangs besprochen
wurden, folgt nun die Diskussion der quantenmechanischen Bewegungsgleichung.
Die Gross-Pitaevskii-Gleichung in drei Dimensionen
Die Physik schwach wechselwirkender BECs wird unter Berücksichtigung der interatomaren
Wechselwirkung zwischen den Atomen in einer Molekularfeldnäherung durch die
Gross-Pitaevskii Gleichung (GPE) für die Kondensatwellenfunktion 2 Ψ(r, t) beschrieben
[93, 94, 95]. Dabei werden Anregungen aus dem Kondensat vernachlässigt, was die
Gültigkeit der Theorie auf T = 0 einschränkt. Für Temperaturen T ≪ T c und hinreichend
große Kondensate (N ≫ 1) ist die Beschreibung durch die GPE jedoch eine gute
Näherung.
In einem verdünnten Gas bei niedriger Temperatur (λ dB (T ) ≫ a) wird die Wechselwirkung
zwischen den Atomen durch elastische s-Wellen-Streuung dominiert, welche
vollständig durch die Streulänge a charakterisiert ist. Das interatomare Potential kann
durch ein Deltapotential verschwindender Reichweite U(r − r ′ ) = g 3d δ(r − r ′ ) ersetzt
werden, wobei
g 3d = 4π2 a
(3.11)
m
als dreidimensionale Kopplungskonstante bezeichnet wird. Für Atome mit repulsiver
Wechselwirkung, wie im Falle von 87 Rb, ist a positiv, bei attraktiver Wechselwirkung
entsprechend negativ. Die Gross-Pitaevskii Gleichung für die makroskopische Wellenfunktion
Ψ(r, t) eines Bose-Einstein Kondensat lautet damit
i ∂ [
]
∂t Ψ(r, t) = − 2
2m ∆ + V ext(r) + g 3d N |Ψ(r, t)| 2 Ψ(r, t). (3.12)
In dieser Darstellung ist Ψ auf eins, nicht auf die Teilchenzahl N, normiert. Der erste
Term beschreibt die kinetische Energie, also die Dispersion des Wellenpakets auf Grund
der endlichen Größe und der damit verbundenen endlichen Impulsbreite. Der zweite
stellt ein beliebiges äußeres Potential V ext (r) dar. Auf Grund des Wechselwirkungsterms
g 3d N |Ψ(r, t)| 2 gehört die GPE zur Klasse der nichtlinearen Schrödingergleichungen.
Die durchgeführten Experimente zur Beobachtung der Wellenpaketdynamik wurden
in einem schwach fokussierten Laserstrahl durchgeführt, der den Wellenleiter für
das BEC darstellt. Obwohl sich das Kondensat im wesentlichen nur entlang der Strahlrichtung
des Lasers ausbreiten kann, muss für hohe Dichten die transversale Dynamik
des Wellenpakets berücksichtigt werden. Eine Dichteänderung in axialer Richtung des
Wellenleiters beeinflusst auch die transversale Größe und wirkt somit auf die Wechselwirkungsenergie
zurück. Die analytische Lösung der 3d-GPE ist nur in Ausnahmefällen
möglich [96, 97]. Deren numerische Lösung erfordert hingegen einen erheblichen Rechenaufwand.
Man reduziert deshalb die 3d-GPE auf eine eindimensionale Gleichung, die
vergleichsweise schnell zu lösen ist, deren Anwendbarkeit aber anhand der experimentellen
Daten geprüft werden muss.
2 Die makroskopische Wellenfunktion stellt den Erwartungswert des Kondensat-Feldoperators
Ψ(r, t) = 〈 ˆΨ(r, t)〉 dar.