Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

62 KAPITEL 3. THEORIE
Der Nutzen dieser Gleichung liegt vor allem darin, dass sie in der nichtlinearen Optik
genau studiert wurde und zumindest qualitativ die Ergebnisse auf den atomoptischen
Fall übertragbar sind. Man bekommt ein intuitives Verständnis dafür, welche Effekte
man zu erwarten hat (s. Abschnitt 3.3). Für quantitative Aussagen muss man jedoch
auf eine andere Gleichung zurückgreifen.
Die effektive eindimensionale Schrödingergleichung
In den letzten Jahren gab es mehrere Versuche das Problem zu lösen eine eindimensionale
Gleichung zu erhalten, die die transversale Dynamik der Materiewellen berücksichtigt
[100, 101]. Ein Vergleich mit der exakten“ Lösung der 3d-GPE zeigte, dass der Vorschlag
”
von Salasnich et al. [101] die bisher beste Übereinstimmung ergab. Der Wechselwirkungsterm
wird dabei durch einen wiederum dichteabhängigen Ausdruck korrigiert.
[
]
i ∂ ∂t Ψ(x, t) = − 2 ∂ 2
|Ψ(x, t)| 2
√ Ψ(x, t)
1 + 2aN|Ψ(x, t)| 2
+
[ (
ω ⊥
2
2m ∂x 2 + V ext(x) + g 1d N
1
√
1 + 2aN|Ψ(x, t)| 2 + √ 1 + 2aN|Ψ(x, t)| 2 )]
Ψ(x, t). (3.17)
Der Term in der unteren Zeile berücksichtigt die (reduzierte) kinetische und die (erhöhte)
potentielle Energie des Wellenpakets im transversalen Potential. Diese nichtpolynominale,
nichtlineare Schrödingergleichung wird in der Literatur mit NPSE 5 abgekürzt. Sie
wurde gewonnen indem man annimmt, dass das Kondensat transversal einer Gaußverteilung
ψ(y, z, t, σ(x, t)) ∝ exp
(− y2 + z 2 )
σ(x, t) 2 (3.18)
folgt, wobei die Breite σ(x, t) eine Ortsabhängigkeit zeigt, die von der linearen Dichte
N|ψ(x, t)| 2 bestimmt wird. Den gewünschten Zusammenhang
σ(x, t) 2 = a 2 ⊥√
1 + 2aN|ψ(x, t)| 2 (3.19)
erhält man durch Minimierung des Wirkungsfunktionals
∫ [
S = dtd 3 rψ ∗ i δ δt + 2
2m ∇2 − V ext − 1 ]
2 g 3dN|ψ| 2 ψ (3.20)
nach der Breite σ(x, t), wobei zuvor über die (y, z)-Ebene integriert wurde. Die Annahme
einer Gaußverteilung stimmt zwar nur für den Fall schwacher Wechselwirkung (s.
Abschnitt 3.1.3), allerdings wurde gezeigt, dass auch für hohe Atomzahlen die kollektive
Dynamik eines BEC in vielen Fällen zuverlässig durch diesen Ansatz beschrieben werden
kann [102, 103, 104]. Bei der Dynamik atomarer Solitonen können jedoch transversale
Anregungen des Wellenpakets eine entscheidende Rolle spielen [105], in diesem Fall
müssen zwei- oder dreidimensionale numerischen Simulationen der GPE die Ergebnisse
der NPSE bestätigen oder widerlegen. Für den Fall schwacher transversaler Wechselwirkung
Na|Ψ| 2 max ≪ 1 geht die NPSE wie erforderlich in die quasi-eindimensionale Gl.
3.13 über 6 .
5 NPSE steht für nonpolynominal Schrödingerequation.
6 Der konstante Term ω ⊥ kann dann vernachlässigt werden, da er die Dynamik nicht beeinflusst.