Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

3.1. BOSE-EINSTEIN KONDENSATION 63
3.1.3 Der Grundzustand eines BEC in einer harmonischen Falle
Die Dynamik eines BEC wird entsprechend den Gleichungen 3.12, 3.13 und 3.17 durch
die Dispersion, äußere Potentiale und durch die Wechselwirkung zwischen den Atomen
bestimmt. Während man die Potentiale vorgibt, wird die Dispersion nur durch die Größe
des Wellenpakets bestimmt. Die Wechselwirkungsenergie hängt über die Dichte ebenfalls
von der Ausdehnung des BEC ab. Der anfänglichen Größe des BEC in der dreidimensionalen
Falle kommt deshalb eine besondere Bedeutung zu. Sie hängt bei gegebener Masse
und Streulänge von der Atomzahl und den Fallenfrequenzen ab. Die stationären Bewegungsgleichungen
sind zwar im Allgemeinen nicht analytisch lösbar, es gibt jedoch für
viele experimentelle Situationen gute Näherungen, die eine zeitaufwendige numerische
Lösung nicht erforderlich machen. Die Wellenfunktion des Kondensats hat die allgemeine
Form Ψ(r, t) = ψ(r)e − i µt mit dem chemischen Potential µ, gesucht sind nun die
stationären Dichteverteilungen |ψ(r)| 2 .
Ideales Bose-Einstein-Kondensat
Ein ideales (wechselwirkungsfreies) Kondensat würde unabhängig von der Atomzahl den
dreidimensionalen gaußschen Grundzustand
( ) mω 3/2 (
ρ(r) = |ψ(r)| 2 = exp − m )
π
(ω xx 2 + ω y y 2 + ω z z 2 ) (3.21)
mω i
=
[ √ Hz]
einnehmen,
√
wobei ω = (ω y ω y ω z ) 1/3 die mittlere Fallenfrequenz darstellt. Die 1/e-Breiten
10.8 µm
σ i =
in den verschiedenen Raumrichtungen wären alleine durch die entsprechenden
Fallenfrequenz festgelegt. Für die verwendeten experimentellen Parameter
ist dies allerdings nur bei Kondensaten mit weniger als 100 Atomen eine gute Näherung,
da die interatomare Wechselwirkung das BEC für realistische Atomzahlen vergrößert.
Das Kondensat in der 3d-Thomas-Fermi Näherung
Bei den meisten BEC-Experimenten weltweit ist die Atomzahl im Kondensat so hoch,
dass der Wechselwirkungsterm sowohl den stationären Grundzustand als auch die Dynamik
des Wellenpakets fast vollständig bestimmt. In diesem Fall kann man den Dispersionsterm
− 2 △ vernachlässigen, was als Thomas-Fermi Näherung bezeichnet wird. Die
2m
Gleichung 3.12 wird zu
µΨ(r) =
[
V ext (r) + g 3d N |Ψ(r)| 2] Ψ(r). (3.22)
Die Dichteverteilung
ρ(r) = |Ψ(r)| 2 =
{
g −1 [µ − V ext (r)]
0 sonst.
für µ > V ext (r),
(3.23)
wird durch das Potential V (r) vorgegeben. Für harmonische Fallen erhält man demnach
ein parabolisches Profil
(
)
ρ(r) = ρ 0 1 − x2
RT 2 −
y2
F x
RT 2 −
z2
F y
RT 2 . (3.24)
F z