Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

66 KAPITEL 3. THEORIE
(x,t)[a.u.]
N=30000 Atome
ideales Gas
numerisch (Baym)
numerisch (iT)
3d-Thomas-Fermi
1d-Thomas-Fermi
N=3000 Atome
-20 0 +- 20
0 20
x[ m]
Abbildung 3.1: Profil der Grundzustandswellenfunktion in x-Richtung eines BECs in einer
harmonischen Falle mit Fallenfrequenzen ω ⊥ = 2π × 85 Hz und ω x = 2π × 20 Hz in den verschiedenen
Näherungen für zwei verschiedene Atomzahlen. Durch die repulsive Wechselwirkung ist die
Ausdehnung deutlich größer als dies für ein ideales Gas (blau) der Fall wäre. Bei 3 × 10 4 87 Rb-
Atomen (linke Hälfte) beträgt das Verhältnis zwischen Wechselwirkungsenergie und kinetischer
Energie etwa 1400. Die 3d-Thomas-Fermi-Näherung (grün) entspricht in diesem Fall nahezu der
wirklichen Verteilung. Die beiden numerisch Methoden ((iT)-schwarz und Methode nach Baym
(rot) approximieren diese gut. Die 1d-Thomas-Fermi-Näherung (schwarz, gestrichelt) erzeugt
eine deutlich breitere Verteilung. Für 3×10 3 Atome sind die Unterschiede zwischen den Modellen
wesentlich geringer. Beide TF-Näherungen erweisen sich als etwas zu groß, während die beiden
numerischen Modelle fast identisch sind.
approximiert [101]. Die Methode nach Baym erzeugt ein sehr ähnliches Ergebnis. Beide
TF-Modelle überschätzen die Breite etwas. Sie stimmen bei dieser Atomzahl fast überein,
da die radiale 3d-TF Größe ungefähr der harmonischen Oszillatorlänge entspricht. Diese
Atomzahl markiert bei gegebenen Frequenzen den Punkt, an welchem für sinkende Atomzahlen
das 1d-Modell die bessere Näherung darstellt. Insgesamt sind die Unterschiede
zwischen den Methoden in diesem Fall relativ klein. Die beiden numerischen Methoden
haben den Vorteil, dass sie auch über die transversale Größe eine verlässliche Information
liefern, die zur Berechnung der (3d-)Dichte und damit zur Wechselwirkungsenergie
erforderlich ist.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass für hohe Atomzahlen die 3d-Thomas-Fermi
Näherung verlässliche Ergebnisse erzeugt. Für kleine Atomzahlen ergibt die einfache
numerische Methode nach Baym sinnvolle Resultate, während für quantitative Analysen
die numerische Lösung(iT) berechnet werden muss.
Um Missverständnissen vorzubeugen sei nochmal kurz auf den Begriff des ”
schwach
wechselwirkenden“ Gases eingegangen. Obwohl Statik und Dynamik des Wellenpakets
in den Thomas-Fermi Regimen alleine durch die Wechselwirkung bestimmt sind, spricht
man nicht von einem ”
stark wechselwirkenden“ Gas. Der Begriff bezieht sich alleine auf
die in Abschnitt 3.1.1 beschrieben ”
quantum depletion“. Man kann dennoch einen Bezug
zur Dynamik herstellen. Befindet sich das Ensemble gerade am Übergangspunkt zum
Kondensat, so ist dort die Wechselwirkungsenergie sehr viel kleiner als die kinetische,
dies gilt jedoch nicht mehr für das BEC bei weiterer Abkühlung.