Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

3.3. NICHTLINEARE DYNAMIK KOHÄRENTER WELLENPAKETE 79
Abbildung 3.6: (a) Helle Solitonen als Lösung der nichtlinearen Schrödingergleichung für
die Einhüllende |f(x, t)| 2 . Gezeigt ist jeweils eine Solitonperiode T S = π 2 T D für die Solitonen
erster bis dritter Ordnung, sowie die Dichteverteilungen zu verschiedenen Zeitpunkten innerhalb
T S . Im Gegensatz zum fundamentalen Soliton, welches zeitlich konstant ist, erkennt man das
periodische Verhalten der Solitonen höherer Ordnung.
Für typische experimentelle Parameter (m eff /m = −0.1, ω ⊥ = 2π × 80 Hz und x 0 =
5 µm) beträgt dieser Wert ”
nur“ N 0 = 350 Atome. Die Herstellung einer so kleinen
Anzahl an kohärenten Atomen war eine der Hauptschwierigkeiten bei der Durchführung
dieses Experiments. Für höhere Atomzahlen existieren weitere Lösungen der Gl. 3.50,
die nicht stationär sondern zeitperiodisch sind. Man nennt diese Solitonen höherer (nter)
Ordnung. Die Atomzahl im Wellenpaket nach Gl. 3.55 muss dazu N = n 2 N 0 (n ∈
N) betragen. In diesem Fall überwiegt die Wechselwirkung zwischen den Atomen, das
Wellenpaket komprimiert, bis die dadurch erhöhte Dispersion eine weitere Kompression
verhindert und schließlich zu einem periodischen Verhalten der Dichteverteilung mit der
Solitonperiode T S = π 2 T D führt.
In Abb. 3.6 (a) sind die Solitonen erster bis dritter Ordnung zur Veranschaulichung
dargestellt. Während das fundamentale Soliton zeitlich konstant ist, ändern diejenigen
höherer Ordnung periodisch ihre Form. In Abb. 3.6 (b) sind die Dichteverteilungen innerhalb
einer Solitonperiode zu verschiedenen Zeitpunkten gezeigt. Die Dichteachse ist
jeweils auf deren maximalen Wert skaliert. Dieser ist für das Soliton 2. Ordnug um den
Faktor 16 und für dasjenige 3. Ordnung um den Faktor 60 höher als für das fundamentale
Soliton. Falls die Atomzahl des Ensembles nicht der Bedingung N = n 2 N 0 genügt, transformiert
sich die Wolke in dasjenige Soliton, deren Ordnung es am nächsten kommt. Das
fundamentale Soliton entsteht wenn die Atomzahl im Bereich 0.5N 0 < N < 1.5N 0 liegt.
Ebenso muss die Anfangsverteilung nicht genau Gl. 3.55 entsprechen, das Wellenpaket
verändert seine Form bis es die Solitonbedingung erfüllt. Dies geschieht typischerweise
innerhalb einiger Solitonperioden [125].
Ausgangspunkt diese Betrachtungen war Gleichung 3.50, also in der Näherung einer
effektiven Masse und einer schwachen Nichtlinearität. Die zweite Bedingung ist aller-