Helle atomare Solitonen - KOPS - Universität Konstanz

64 KAPITEL 3. THEORIE
mit der maximalen Dichte ρ 0 = µ
g 3d
. Das chemischen Potential [5]
µ = ω ho
2
( ) 15Na 2/5
. (3.25)
erhält man aus der Normierung der Wellenfunktion ∫ ρ(r)dr = N, wobei σ = √ /mω
die mittleren Oszillatorlänge bezeichnet. Daraus lässt sich der sog. Thomas-Fermi Radius
des Kondensats bestimmen:
√ √ ( ) ω 15Na 1/5
R T F i =
, i = x, y, z. (3.26)
mω i ω i σ
Der erste Term entspricht der Größe des idealen BEC, der zweite berücksichtigt die
Anisotropie der Falle, der dritte beschreibt die Verbreiterung durch die Nichtlinearität.
Die Thomas-Fermi Näherung ist gültig, solange das Verhältnis aus nichtlinearer und
kinetischer Energie E nl /E kin ≃ 8πNa
σ
≫ 1 ist. Typischerweise beträgt dieses Verhältnis
bei Experimenten zum Dispersionsmanagement in Abschnitt 4.2 8πNa
σ
∼ 2000 (2 × 10 4
87 Rb-Atome in einer Falle mit ω = 2π×50 Hz). Nur am Rand der Wolke ist die kinetische
Energie nicht mehr vernachlässigbar, das parabolische Profil wird dort über eine Größe
( ) σ 1/3
d = 2 −1/3 σ
(3.27)
R T F
ausgeschmiert“ ([106], in sphärischen Fallen). Für das zuletzt genannte Beispiel ergibt
”
sich d = 750 nm bei einem Thomas-Fermi Radius von 6.2 µm. In asymmetrischen Fallen
kann die Korrektur des Parabelprofils je nach Verhältnis der Fallenfrequenzen auch
deutlich größer ausfallen [5].
Das Kondensat in der 1d-Thomas-Fermi Näherung
Befindet sich das System in einem Zustand, der der in Abschnitt 3.1.2 beschriebenen
quasi-eindimensionalen Situation entspricht, so kann die dreidimensionale Thomas-Fermi
Näherung nicht gültig sein, da sich das Kondensat transversal im Grundzustand des harmonischen
Oszillators befindet. Allerdings kann für die longitudinale Richtung dennoch
die Bedingung E nl /E kin ≫ 1 erfüllt sein, das System befindet sich eindimensional im
Thomas-Fermi Regime. Dazu ist ein sehr großes Verhältnis zwischen transversaler und
longitudinaler Fallenfrequenz ω ⊥
ωx
≫ 1 notwendig. Die Dichteverteilung wird wiederum
vom äußeren Potential bestimmt und ist somit in einer longitudinal harmonischen Falle
ebenfalls parabolisch,
( )
ρ(r) = ρ 0 1 − x2
RT 2 . (3.28)
F 1d
wobei die maximale Dichte ρ 0 = µ
g 1d
aus dem chemischen Potential [107]
σ
µ = 1 2 (3a√ mω x ω ⊥ N) 2/3 (3.29)
folgt. Der Radius ergibt sich damit zu
( ) 3aω⊥ N 1/3
R T F 1d =
(3.30)
mω 2 x