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6.1 Theoretische Untersuchung der Blasendispergierung 121
6.1.2 Theoretische Bestimmung gemittelter Blasengrößen
Für die weitere Berechnung ist es zweckmäßig, an Stelle der Größenverteilungen
mit gemittelten Blasengrößen zu rechnen. Wie der arithmetisch
gemittelte Blasendurchmesser und der Sauterdurchmesser
der Blasen aus den Größenverteilungen bestimmt wird, ist in der
Folge gezeigt.
Die mittlere Größe der Tochterblasen wird durch ihren arithmetisch
′∗
gemittelten Durchmesser ¯d 0 ausgedrückt. Dieser wird durch die Integration
von Gl. 74 erhalten, die Bestimmung des so genannten ersten
Momentes der Anzahlverteilung der Durchmesser M 10 [55]:
¯d ′∗
0 = M 10 =
∫
d ′∗ max
0
d ′∗ β ∗ (d ′∗ ,d ∗ )∂d. (78)
Das Integral in Gl. 78, ausgewertet in den Grenzen von 0 bis
d ′∗ max =0, 5 1/3 · d ∗ , liefert den arithmetisch gemittelten Durchmesser
der Tochterblasen:
¯d ′∗
0 = d′∗ 0,50
( ) s
2
2 · exp · 1+erf[−1 3 + 3 2 ln[21/15 d ∗ ]]
2 1+erf[ 3 2 ln[21/15 d ∗ ]]
( )
= d′∗ 0,50 s
2
2 · exp · B(d ∗ ). (79)
2
Der Faktor B(d ∗ ) berücksichtigt den Einfluss des dimensionslosen
Primärblasendurchmessers auf den gemittelten Durchmesser der
′∗
′∗
Tochterblasen ¯d 0 . Der Verlauf von ¯d 0 bezogen auf die dimensionslose
Primärblasengröße d ∗ ist in Abb. 50 über d ∗ dargestellt.
′′∗
Der gemittelte Durchmesser der Restblasen ¯d 0 wird durch die Bestimmung
des ersten Momentes der Anzahlverteilung der Restblasendurchmesser
errechnet.
Die Berechnung des gemittelten Durchmessers der Restblasen erfolgt
analog zu der bei den Tochterblasen über die Bestimmung des ersten
Momentes der Anzahlverteilung mit Gl. 78. Allerdings lässt sich dieses
Moment nur numerisch integrieren, sodass hier eine analytische