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2.1 Einphasige Strömung im Rührkessel 18
für Fluidballen, die sich als Einheit bewegen, und stellt somit ein
charakteristisches Längenmaß für die Strömung dar [39].
Die Anzahl der Wirbel pro Bilanzvolumen N λ mit einem Längenmaßstab
zwischen λ und λ + dλ wird aus dem Energiespektrum für
den Trägheitsbereich der Turbulenz mit Gl. 13 berechnet [54, 58]:
N λ = C 1 λ 4, mit C = A √
2
6 · 2 1/3
π 5/3 =0, 8413; A =1, 5. (13)
Die Schwankungsgeschwindigkeit u ′ rms kann ebenfalls aus dem eindimensionalen
Energiespektrum E 1 (k) abgeleitet werden [84]: Das
Quadrat der Schwankungsgeschwindigkeit stellt eine spezifische turbulente
Energie dar, die anschaulich die Summe aller Energiebeiträge
aller Wirbelgrößen ist. Dieser Zusammenhang ist in Gl. 14 wiedergegeben,
in der die Summe durch das Integral über die Wirbelgrößen
ersetzt ist:
1
2 u′2 rms =
∫ ∞
0
E 1 (k) dk. (14)
Aus der nach Gl. 8 oder nach Gl. 14 ermittelten Schwankungsgeschwindigkeit
kann schließlich unter der Annahme lokal isotroper
Turbulenz die turbulente Schubspannung berechnet werden:
τ = 1 2 ρ Lu ′2
rms. (15)
Die lokale Energiedissipationsrate ɛ lok ergibt sich nach Brodkey [10]
mit dem integralen Längenmaß Λ L aus der Navier-Stokes-Gleichung
für stationäre, lokal isotrope Turbulenzfelder zu:
u ′3
ɛ lok = C 1 . (16)
Λ L
In Gl. 16 steht u ′ für die charakteristische turbulente Schwankungsgeschwindigkeit
der Strömung. Die auftretende Proportionalitätskonstante
liegt in der Größenordnung von 1 (z.B.: [5, 85, 88]). Lehr [54]
gibt sie mit C 1 = √ 2an.