THÃSE - Université Ferhat Abbas de Sétif
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2.3 Modélisation du SAPF<br />
La fonction <strong>de</strong> commutation <strong>de</strong> Lagrange associée avec les paramètres d’(E-L) est :<br />
LS<br />
= T<br />
S<br />
1<br />
= L<br />
2<br />
−V<br />
⎛<br />
f ⎜<br />
⎝<br />
S<br />
q&<br />
=<br />
a<br />
2<br />
⎞<br />
Lf<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
+ L<br />
2<br />
⎛<br />
f ⎜<br />
⎝<br />
q&<br />
b<br />
2<br />
⎞<br />
Lf<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
+ L<br />
2<br />
⎛<br />
f ⎜<br />
⎝<br />
−q&<br />
a<br />
Lf<br />
−q&<br />
b<br />
2<br />
⎞<br />
Lf<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
−<br />
2C<br />
⎛<br />
⎜<br />
dc<br />
⎝<br />
a<br />
( Sa−Sc) q + ( Sb−Sc)<br />
Lf<br />
q<br />
b<br />
2<br />
⎞<br />
Lf<br />
⎟<br />
⎠<br />
(2.58)<br />
En prenant en considération l’équation (2.53) citée ci-<strong>de</strong>ssus, il sera facile d'obtenir<br />
les équations reflétant le comportement dynamique du circuit:<br />
2 Lf<br />
q&&<br />
a<br />
Lf<br />
Lf<br />
q&&<br />
a<br />
Lf<br />
+ Lf<br />
q&&<br />
+<br />
b<br />
Lf<br />
b<br />
Lf<br />
+ 2 Lf<br />
q&&<br />
+<br />
1<br />
C<br />
⎛<br />
a<br />
( Sa−Sc) ⎜( Sa−Sc) q + ( Sb−Sc)<br />
dc<br />
⎝<br />
1<br />
C<br />
⎛<br />
a<br />
b ⎞ a b<br />
( Sa−Sc) ⎜( Sa−Sc) q + ( Sb−Sc) q ⎟+<br />
R q&<br />
+ 2R q&<br />
= vsb−<br />
vsc<br />
dc<br />
⎝<br />
Lf<br />
Lf<br />
q<br />
b ⎞<br />
Lf<br />
⎟<br />
⎠<br />
Lf<br />
⎠<br />
+ 2R q&<br />
Lf<br />
a<br />
Lf<br />
+ R q&<br />
b<br />
Lf<br />
Lf<br />
= v<br />
s<br />
a<br />
− v<br />
s<br />
c<br />
(2.59)<br />
En faisant quelques manipulations algébriques sur les <strong>de</strong>ux équations précé<strong>de</strong>ntes,<br />
les relations suivantes sont obtenues:<br />
a<br />
Lf<br />
Lf<br />
q&<br />
b<br />
Lf<br />
Lf<br />
q&&<br />
1<br />
+<br />
C ⎝<br />
1<br />
+<br />
C ⎝<br />
Sa<br />
Sb<br />
⎜<br />
⎛ +<br />
S<br />
+<br />
a−<br />
dc<br />
3<br />
Sa<br />
Sb<br />
⎜<br />
⎛ +<br />
S<br />
+<br />
b−<br />
dc<br />
3<br />
S<br />
S<br />
c<br />
c<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
a<br />
( Sa−Sc) q + ( Sb−Sc)<br />
Lf<br />
a<br />
b ⎞ b<br />
( Sa−Sc) q + ( Sb−Sc) q ⎟+<br />
R q&<br />
= vsb<br />
Lf<br />
q<br />
b ⎞<br />
Lf<br />
⎟<br />
⎠<br />
Lf<br />
⎠<br />
+ R q&<br />
a<br />
Lf<br />
Lf<br />
= v<br />
s<br />
a<br />
(2.60)<br />
Définissons un nouveau vecteur d’état :<br />
a<br />
a ⎡<br />
⎤<br />
⎡x1⎤<br />
⎡ ⎤<br />
Lf<br />
q&<br />
q&<br />
Lf<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
b<br />
⎢ ⎥ b<br />
x2<br />
⎥<br />
⎢<br />
Lf<br />
⎢ ⎥ ⎢ q&<br />
q&<br />
Lf<br />
x = = =<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
a b<br />
c<br />
⎢x<br />
⎥<br />
−q&<br />
L −q&<br />
(2.61)<br />
3<br />
f Lf<br />
q&<br />
L<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ [( ) ( ) ]⎥ ⎥⎥⎥⎥ f<br />
1<br />
a<br />
b<br />
⎣x4⎦<br />
⎣qC<br />
Cdc<br />
a<br />
⎦ S −Sc<br />
qL<br />
+ Sb−Sc<br />
q<br />
f<br />
Lf<br />
⎣Cdc<br />
⎦<br />
Ainsi, le modèle dans l’espace d’état qui décrit le circuit est le suivant:<br />
R 1 Sa<br />
Sb<br />
Sc<br />
⎞ 1<br />
x1<br />
x1<br />
⎜<br />
⎛ +<br />
& =− − Sa−<br />
+ ⎟ x4<br />
+ vsa<br />
Lf<br />
Lf<br />
⎝ 3 ⎠ Lf<br />
R 1 Sa<br />
Sb<br />
Sc<br />
⎞ 1<br />
x2<br />
x2<br />
⎜<br />
⎛ +<br />
& =− − Sb−<br />
+ ⎟ x4<br />
+ vsb<br />
Lf<br />
Lf<br />
⎝ 3 ⎠ Lf<br />
R 1 Sa<br />
Sb<br />
Sc<br />
⎞ 1<br />
x3<br />
x2<br />
⎜<br />
⎛ +<br />
& =− − Sc−<br />
+ ⎟ x4<br />
+ vca<br />
Lf<br />
Lf<br />
⎝ 3 ⎠ Lf<br />
1<br />
x&<br />
4 = [ Sa<br />
x1+<br />
Sb<br />
x2+<br />
Sc<br />
x3]<br />
Cdc<br />
(2.62)<br />
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