ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

1182 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙέχει στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών ν ακριβώς ρίζες.Αν z1, z2,..., z νείναι οι ρίζες του πολυωνύμου P(z)(οι οποίες δεν είναι κατανάγκηδιαφορετικές), τότε αποδεικνύεται ότι το πολυώνυμο αναλύεται σεγινόμενο παραγόντων ως εξής:P( z) αν( z z1 )( z z2) ...(z zν)Επομένως, η επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων στο γίνεται με τις ίδιες μεθόδουςπου χρησιμοποιούνται και στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.Στη συνέχεια θα περιοριστούμε σε πολυωνυμικές εξισώσεις με πραγματικούςμόνο συντελεστές.Έχουμε ήδη λύσει τη δευτεροβάθμια εξίσωση, η οποία, όπως είδαμε, έχει δύορίζες, οι οποίες, αν δεν είναι πραγματικές, είναι μιγαδικές συζυγείς. Ας λύσουμετώρα μία ανωτέρου βαθμού, για παράδειγμα την z3 3z3 5z 3 0 , που είναιπολυωνυμική τρίτου βαθμού. Με σχήμα Horner έχουμε:3 222z 3z 5z 3 0 ( z 2z 3)( z 1) 0 z 2z 3 0 ή z 1 0 .Όμως,2z 2z 3 0 z 12iή z 1 2i.Άρα, οι ρίζες της εξίσωσης είναι 1 2i, 1 2iκαι 1. Και στην περίπτωση αυτήπαρατηρούμε ότι οι μιγαδικές ρίζες της εξίσωσης είναι συζυγείς. Το συμπέρασμααυτό γενικεύεται για οποιαδήποτε πολυωνυμική εξίσωση με πραγματικούςσυντελεστές.ΘΕΩΡΗΜΑ 3Αν ο μιγαδικός αριθμός z0 α βiείναι ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσηςμε πραγματικούς συντελεστές, τότε και ο συζυγής του z0 α βiείναι ρίζατης εξίσωσης αυτής.ΑΠΟΔΕΙΞΗΜια πολυωνυμική εξίσωση, όπως γνωρίζουμε, έχει τη μορφή:Αφού ο αριθμόςνν1αν z αν1z α1z α0 0 , όπου α α ,..., με .z 00,1α να ν0είναι ρίζα της εξίσωσης, έχουμε κατά σειρά:ααανν1νz0 αν1z0 α1z0 α0νν1νz0 αν1z0 α1z0 α0νν1νz0 αν1z0 α1z0 a0νν1νz0 αν1z0 α1z0 α0α0000