ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

2462 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΑν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α,β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα f ( α) f ( β)( α,β)τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α,β)τέτοιο, ώστε:f ( ξ)0καιΓεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα,τουλάχιστον, ξ ( α,β)τέτοιο, ώστε η εφαπτομένητης C στο M ( ξ,f ( ξ))να είναιπαράλληλη στον άξονα των x.fyΜ(ξ,f(ξ))Α(α,f(α))18Β(β,f(β))O α ξ ξ΄ β xΓια παράδειγμα, έστω η συνάρτησηf ( x) x2 4x 5 , x [1,3] . (Σχ. 19)y19Επειδή η f είναι συνεχής στο [1,3] , παραγωγίσιμηστο ( 1,3) , με f ( x ) 2x 4 καιf (1) 2 f (3) , σύμφωνα με το θεώρημαRolle, θα υπάρχει ένας αριθμός ξ (1,3)τέτοιος, ώστε f (ξ) 0 .Για την εύρεση του αριθμού ξ, έχουμε:2O1AMξ=2B3 xf ( ξ) 0 2ξ 4 0 ξ 2 .ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Θ.Μ.Τ.)Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α,β]και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α,β)τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α,β)τέτοιο, ώστε:f (ξ)f ( β) f ( α)β α