Attention! Your ePaper is waiting for publication!
By publishing your document, the content will be optimally indexed by Google via AI and sorted into the right category for over 500 million ePaper readers on YUMPU.
This will ensure high visibility and many readers!
541 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑEEE x 2y ω 0 y 0 ( Σ 7) ω 12E2 E3 x 2y 1 y 0 ( Σ8) ω 11E1 E3 x 1 y 0 ( Σ9) ω 11E1 2E2Επειδή το σύστημα ( Σ9) είναι ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα Σ ) , συμπεραίνουμεότι η λύση του συστήματος είναι η τριάδα ( 1, 0, 1) .Μπορούμε να περιγράψουμε απλούστερα τη διαδικασία επίλυσης ενός μ νγραμμικού συστήματος, αν σκεφτούμε ως εξής: Αφού κάθε εξίσωση παριστάνεταιμε μια γραμμή του επαυξημένου πίνακα, αρκεί οι παραπάνω μετατροπές τωνεξισώσεων να γίνονται στις γραμμές Γ 1, Γ2,...,Γ μτου επαυξημένου πίνακα. Οιμετατροπές αυτές λέγονται γραμμοπράξεις και είναι οι εξής:Γραμμοπράξη( 1Συμβολισμός1. Εναλλαγή της θέσης δύο γραμμών Γi Γj2. Πολλαπλασιασμός μιας γραμμής με έναμη μηδενικό αριθμό Γi λΓ i, λ 03. Πρόσθεση των στοιχείων μιας γραμμής,πολλαπλασιασμένων με έναν αριθμό, σταΓ Γ λΓαντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής.Όταν έχουμε δύο πίνακες Α, Β που ο ένας προκύπτει από τον άλλο με γραμμοπράξεις,τότε οι πίνακες αυτοί λέγονται γραμμοϊσοδύναμοι ή απλώς ισοδύναμοικαι γράφουμε A ~ B . Είναι προφανές ότι, αν οι επαυξημένοι πίνακες δύοσυστημάτων είναι ισοδύναμοι, τότε και τα συστήματα είναι ισοδύναμα, αφούκαθεμιά γραμμοπράξη ξεχωριστά οδηγεί σε σύστημα ισοδύναμο με το αρχικό.Έτσι, η επίλυση του προηγούμενου συστήματος μπορεί να γίνει ως εξής:123 2111520 31Γ2 Γ2 2Γ1~103 2311320 31iΓi3 Γ3 3Γ1~j100 2371310 311 Γ231 20Γ ~ 2 0 1 1 1 07 111Γ3 Γ3 7Γ2~
541 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑEEE x 2y ω 0 y 0 ( Σ 7) ω 12E2 E3 x 2y 1 y 0 ( Σ8) ω 11E1 E3 x 1 y 0 ( Σ9) ω 11E1 2E2Επειδή το σύστημα ( Σ9) είναι ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα Σ ) , συμπεραίνουμεότι η λύση του συστήματος είναι η τριάδα ( 1, 0, 1) .Μπορούμε να περιγράψουμε απλούστερα τη διαδικασία επίλυσης ενός μ νγραμμικού συστήματος, αν σκεφτούμε ως εξής: Αφού κάθε εξίσωση παριστάνεταιμε μια γραμμή του επαυξημένου πίνακα, αρκεί οι παραπάνω μετατροπές τωνεξισώσεων να γίνονται στις γραμμές Γ 1, Γ2,...,Γ μτου επαυξημένου πίνακα. Οιμετατροπές αυτές λέγονται γραμμοπράξεις και είναι οι εξής:Γραμμοπράξη( 1Συμβολισμός1. Εναλλαγή της θέσης δύο γραμμών Γi Γj2. Πολλαπλασιασμός μιας γραμμής με έναμη μηδενικό αριθμό Γi λΓ i, λ 03. Πρόσθεση των στοιχείων μιας γραμμής,πολλαπλασιασμένων με έναν αριθμό, σταΓ Γ λΓαντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής.Όταν έχουμε δύο πίνακες Α, Β που ο ένας προκύπτει από τον άλλο με γραμμοπράξεις,τότε οι πίνακες αυτοί λέγονται γραμμοϊσοδύναμοι ή απλώς ισοδύναμοικαι γράφουμε A ~ B . Είναι προφανές ότι, αν οι επαυξημένοι πίνακες δύοσυστημάτων είναι ισοδύναμοι, τότε και τα συστήματα είναι ισοδύναμα, αφούκαθεμιά γραμμοπράξη ξεχωριστά οδηγεί σε σύστημα ισοδύναμο με το αρχικό.Έτσι, η επίλυση του προηγούμενου συστήματος μπορεί να γίνει ως εξής:123 2111520 31Γ2 Γ2 2Γ1~103 2311320 31iΓi3 Γ3 3Γ1~j100 2371310 311 Γ231 20Γ ~ 2 0 1 1 1 07 111Γ3 Γ3 7Γ2~
1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 55100 21011 80181 Γ Γ38~ 3 100 21011101 1Γ Γ Γ2~ 2 3100 210101001Γ Γ Γ1~ 1 3 100 210001101Γ1 Γ1 2Γ2~100010001101.x 1Ο τελευταίος πίνακας αντιστοιχεί στο σύστημα y 0 . ω 1Επομένως, η λύση του συστήματος είναι η τριάδα ( 1, 0, 1).Παρατηρούμε ότι ο τελευταίος πίνακας των συντελεστών των αγνώστων είναι ομοναδιαίος 3 3 πίνακας. Έτσι μπορούμε να “διαβάσουμε” αμέσως τη λύση τουσυστήματος.Για να απλοποιήσουμε και να συντομεύσουμε ακόμη περισσότερο τη διαδικασίαεπίλυσης ενός συστήματος, πολλές φορές στο ίδιο βήμα εφαρμόζουμε περισσότερεςαπό μία γραμμοπράξεις.Ας λύσουμε τώρα και το σύστημα xx 2x111 2x 2x 4x222 x3 x3 2x3 5x 3x 6x444 6x5 2x5 3x5 4 .Παίρνουμε τον επαυξημένο πίνακα και έχουμε διαδοχικά:106 1 21 22 4151 3 266 2310 46ΓΓ32 Γ2 Γ Γ 2Γ~311100200150 20 464 9106141 Γ Γ22~ 2100200150 1620 4 910 314Γ3 Γ3 4Γ2~1002001005 0 2 1 2 30 1 2 Γ Γ3~ 31002001005106211032Γ2 Γ2 2Γ3Γ Γ 6Γ1~13100200100510001 2 12 Γ1 Γ1 5Γ2~
Change language