ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

2122 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣτείνει στο x0με x x0(Σχ. 6β). Την οριακή θέση της ΑΜ θα μπορούσαμε νατην ονομάσουμε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α. Επειδή ηf ( x) f ( x0 )κλίση της τέμνουσας ΑΜ είναι ίση με, είναι λογικό να αναμένουμεx x0( x0 , f ( x0ότι η εφαπτομένη της C στο σημείο A )) θα έχει κλίση τοf ( x ) f ( xlimxx0x x0Έτσι δίνουμε τον παρακάτω ορισμό.ΟΡΙΣΜΟΣfΈστω f μια συνάρτηση και A x , f x )) ένα σημείο της C . Αν υπάρχει τοxx00( 0( 0f ( x) f ( x0)limκαι είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφα-x xπτομένη της C fστο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έ-χει συντελεστή διεύθυνσης λ.0 ).fΕπομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείοA( x0 , f ( x0))είναιόπουy f (x λ(x ) ,0) x0f ( x) f ( x0)λ lim.xx0x xΓια παράδειγμα, έστω η συνάρτησητο σημείο της A( 1,1) . Επειδή0f ( x) x2καιy7limx1ορίζεται εφαπτομένη της2f ( x) f (1) x 1 limx 1x1 x 1 lim( x 1) 2 ,x1στο σημείο τηςC fA(1,1) . Η εφαπτομένη αυτή έχει συντελεστή διεύθυνσηςλ 2 και εξίσωση y 1 2(x 1).y=x 2OA(1,1)xΟρισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείοΣτα προηγούμενα, οι ορισμοί της στιγμιαίας ταχύτητας ενός κινητού και τηςεφαπτομένης σε σημείο μιας καμπύλης μας οδήγησαν σε ένα όριο της μορφής( x ) f ( xlim f xx0x xΓια την ιδιαίτερη περίπτωση που το παραπάνω όριο υπάρχει και είναι πραγματικόςαριθμός, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό:00 ).