ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 189Για παράδειγμα:2x1,αν x 0— Η συνάρτηση f ( x) δεν είναι συνεχής στο 0, αφού 2 x,αν x 0limx0f ( x) lim( xx021) 1, ενώ lim f ( x)lim(2 x) 2 ,x0x 0οπότε δεν υπάρχει το όριο της f στο 0.— Η συνάρτηση2 x 1 , αν x 1f ( x) x 1δεν είναι συνεχής στο 1, αφού 3, αν x 1( x 1)(x 1)lim f ( x) lim lim( x 1) 2 , ενώ f ( 1) 3 .x1x1x 1x1Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της,θα λέγεται, απλά, συνεχής συνάρτηση.Για παράδειγμα:— Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε x ισχύειlim P(x) P(x0) .xx00— Κάθε ρητή συνάρτηση QP είναι συνεχής, αφού για κάθε του πεδίου ο-x 0ρισμού της ισχύειP(x)P(xlim xx0 Q(x)Q(x00).)— Οι συναρτήσεις f ( x) ημxκαι g( x) συνxείναι συνεχείς, αφού για κάθεx 0 ισχύειlimx 0 xημΤέλος, αποδεικνύεται ότι:x ημx0και lim συνx συνx0xx0x— Οι συναρτήσεις f ( x) α και g( x) logαx , 0 α 1 είναι συνεχείς.Πράξεις με συνεχείς συναρτήσειςΑπό τον ορισμό της συνέχειας στοπαρακάτω θεώρημα:ΘΕΩΡΗΜΑx 0και τις ιδιότητες των ορίων προκύπτει το.