ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 247Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα,τουλάχιστον, ξ ( α,β)τέτοιο, ώστε η εφαπτομένητης γραφικής παράστασης της fστο σημείο M ( ξ,f ( ξ))να είναι παράλληλητης ευθείας ΑΒ.yM(ξ,f(ξ))A(a,f(a))20Β(β,f(β))Για παράδειγμα, έστω η συνάρτησηf ( x) x , x [0, 4] .Οa ξ ξ΄ β xΕπειδή η f είναι συνεχής στο [0, 4] και παραγωγίσιμηστο (0, 4) , με f ( x) , σύμ-12 xφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής, θα υπάρχειένας αριθμός ξ (0, 4) τέτοιος, ώστεf (4) f (0) 1f ( ξ) .4 0 2Για την εύρεση του αριθμού ξ, έχουμε:yΜ(1,1)1 1 1f ( ξ) ξ 1 ξ 1.2 2 ξ 2y Ο(0,0) 14x21Α(4,2)xΕΦΑΡΜΟΓΕΣ1. Nα αποδειχτεί ότι:3 2*i) Η συνάρτηση f ( x) λx x ( λ 1) x , λ , ικανοποιεί τις υποθέσειςτου θεωρήματος του Rolle στο διάστημα [0, 1] .2*ii) Η εξίσωση 3λx 2x ( λ 1) 0 , λ έχει μια, τουλάχιστον, ρίζα στοδιάστημα (0,1) .ΑΠΟΔΕΙΞΗi) Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στοαφού είναι συνεχής στο [0,1] ως πολυωνυμική2 είναι παραγωγίσιμη στο ( 0,1) με f (x) 3λx 2x ( λ 1)και ισχύει f ( 0) f (1) 0 .[0,1]