ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 161— Στη θέση της φράσης “οι τιμές f (x) βρίσκονταιοσοδήποτε θέλουμε κοντά στο ”χρησιμοποιούμε την ανισότητα| f ( x) | ε , (1)όπου ε οποιοσδήποτε θετικός αριθμός.— Στη θέση της φράσης “για όλα τα x x0που βρίσκονται αρκούντως κοντά στο x 0”χρησιμοποιούμε την ανισότητα0 | x x0 | δ , (2)yy=f(x)ε43f(x)εO x 0 x xx 0 δ x 0 +δόπου δ είναι ένας αρκούντως μικρός θετικός αριθμός. (Η ανισότηταδηλώνει ότιx x 0) .0 |x x0|— Για να συνδέσουμε τις δυο αυτές φράσεις σύμφωνα με τον διαισθητικό ορισμόλέμε ότι για οποιονδήποτε θετικό αριθμό ε μπορούμε να βρούμε έναν θετικόαριθμό δ τέτοιον ώστε, αν το x ικανοποιεί τη (2), τότε το f (x) θα ικανοποιείτην (1). Έχουμε δηλαδή τον ακόλουθο ορισμό:ΟΡΙΣΜΟΣΈστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής α,x ) ( x , ) .Θα λέμε ότι η f έχει στοτοιος, ώστε για κάθεx0όριοx ( α, x0) (x 0, β), με(0 0β , όταν για κάθε ε 0 υπάρχει δ 0 τέ-| f ( x) | ε0 | x x0 | δ , να ισχύει:Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο, τότε αυτό είναι μοναδικόκαι συμβολίζεται, όπως είδαμε, με lim f ( x).xx 0x 0Στη συνέχεια, όταν γράφουμεf στο x και είναι ίσο με .0limxx0f ( x) , θα εννοούμε ότι υπάρχει το όριο τηςΣυνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι οι ακόλουθες ισοδυναμίες:(α)limxx0f ( x) lim ( f ( x) ) 0xx0(β)limxx0f ( x) lim f ( x0 h) h0 Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής ( x 0, β)καιτην ανισότητα 0 | x x0 | δ την αντικαταστήσουμε με την x0 x x0 δ , τότεέχουμε τον ορισμό του lim f (x) , ενώ αν η f είναι ορισμένη σε ένα διάστημαxx0