ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 3010s y . Γνωρίζοντας λοιπόν το σημείο επαφής M ( x 0, y0) , προσδιορίζουμεαπό την τελευταία το μήκος TP s που μας δίνει αμέσως το σημείο2x0Τ. Η ευθεία ΜΤ είναι η ζητούμενη εφαπτομένη της παραβολής. Η προηγούμενηδιαδικασία ήταν ένας από τους δρόμους που οδήγησαν ιστορικά,στην έννοια της παραγώγου.Κανόνες παραγώγισηςΣτο δεύτερο μισό του 17ου αιώνα, οι μαθηματικοί είχαν κατορθώσει ναμετασχηματίσουν όλη τη μακροσκελή διαδικασία παραγώγισης σε εφαρμογήορισμένων κανόνων και τύπων, με τη βοήθεια κατάλληλα επιλεγμένωνσυμβόλων. Πρωτοπόροι προς αυτήν την κατεύθυνση υπήρξαν οι I.Newton και ο G. Leibniz. O Leibniz συμβόλιζε την απειροελάχιστη μεταβολήμιας ποσότητας x με dx (διαφορικό του x) . έτσι, π.χ. για τη συνάρτησηy x του προηγούμενου παραδείγματος, η αντίστοιχη μεταβολή2του y (διαφορικό του y) ήταν:dy d22 2 22 22( x ) ( x dx) x x 2xdx ( dx) x 2xdx ( dx).Παραλείποντας την πολύ μικρή (συγκρινόμενη με τις άλλες) ποσότητα2(dx)προέκυπτε η dy 2xdx(εδώ η παράγωγος 2xονομάζονταν “διαφορικόςσυντελεστής”) και τελικά ηdydx 2x , ένας συμβολισμός που διατηρείταιμέχρι σήμερα, χωρίς όμως να έχει νόημα πηλίκου. Με τον τρόποαυτό ο Leibniz απέδειξε το 1677 τον κανόνα για τον υπολογισμό της μεταβολήςτου γινομένου δύο μεταβλητών x και y, που αποτελεί μια “πρωτόγονη”μορφή του σημερινού κανόνα της παραγώγου ενός γινομένου συναρτήσεωνd(xy) ( x dx)(y dy) xy xy xdy ydx dxdy xy xdy ydx dxdy .Παραλείποντας και εδώ την πολύ μικρή ποσότητασχέσηd( xy) xdy ydx .dxdy , παίρνουμε τηΜε την εισαγωγή και καθιέρωση αυτών των κανόνων και συμβολισμών, ηέννοια της παραγώγου εξελίχθηκε σ’ ένα εξαιρετικά αποτελεσματικό εργαλείοκαι διεύρυνε σε μεγάλο βαθμό τις εφαρμογές της μαθηματικής α-νάλυσης. Παράλληλα όμως, οι ασάφειες που επισημάναμε αποτελούσανμια διαρκή πρόκληση για τους μαθηματικούς που αντιμετώπιζαν με κριτικόπνεύμα τα θεμέλια της επιστήμης τους. Ο πρώτος αυστηρός ορισμόςαυτής της έννοιας, που στηρίζεται στην έννοια του ορίου, δόθηκε γιαπρώτη φορά το 1823 από τον A.L. Cauchy: