Attention! Your ePaper is waiting for publication!
By publishing your document, the content will be optimally indexed by Google via AI and sorted into the right category for over 500 million ePaper readers on YUMPU.
This will ensure high visibility and many readers!
2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 291ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ<strong>Γ΄</strong> ΟΜΑΔΑΣ11. i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( x)x2και g ( x) x 3x 3 , x ( 0, )έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείοA(1,1) .ii) Να βρείτε τη σχετική θέση των C και C στο διάστημα ( 0, ).2. Αν f , g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο , μεff ( 0) g(0)και f ( x) g(x)για κάθε x ,να αποδείξετε ότιf ( x) g(x)στο (,0)και f ( x) g(x)στο ( 0, ).3. Ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα 1. Αν θ είναι ηγωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου, να αποδείξετε ότι το εμβαδόντου είναι E ( 1συνθ)ημθ. Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ ( 0, π)γιατην οποία εμβαδόν του τριγώνου μεγιστοποιείται.g4. Ένα σύρμα μήκους 20m διατίθεται γιατην περίφραξη ενός ανθόκηπου σχήματοςκυκλικού τομέα. Να βρείτε τηνακτίνα r του κύκλου, αν επιθυμούμενα έχουμε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνειατου κήπου.θΟr5. Δύο διάδρομοι πλάτους 1mτέμνονται κάθετα (Σχήμα ).Να βρείτε το μεγαλύτερο δυνατόμήκος μιας σκάλας πουμπορεί, αν μεταφερθεί οριζόντια,να στρίψει στη γωνία.Υπόδειξη:i) Να εκφράσετε τα ΟΑ, ΟΒσυναρτήσει της γωνίας θ,1mΑθΓ ΟΔ θΒ1m
2902 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣxlim f ( x) limxx12 x 4 x καιlim f ( x) lim2x x 4x xx1 .5) Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών της f και χαράσσουμε τη γραφική τηςπαράσταση.y48x 1 1 3 +f΄(x) + 0 0 +f΄΄(x) + ++ +f(x)3Τ.Μ.5 Τ.Ε.5-1O 13xy=x-3-4x=1ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Nα μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:3 2i) f ( x) x 3x 9x11ii)x 14 2f ( x) iii) f ( x) x 2x.x 12. Oμοίως τις συναρτήσεις:i)1f ( x) x ii)x2x x 2f ( x) .x 13. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτησηf ( x) x ημxστο διάστημα [ π, π].
2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 291ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ<strong>Γ΄</strong> ΟΜΑΔΑΣ11. i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( x)x2και g ( x) x 3x 3 , x ( 0, )έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείοA(1,1) .ii) Να βρείτε τη σχετική θέση των C και C στο διάστημα ( 0, ).2. Αν f , g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο , μεff ( 0) g(0)και f ( x) g(x)για κάθε x ,να αποδείξετε ότιf ( x) g(x)στο (,0)και f ( x) g(x)στο ( 0, ).3. Ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα 1. Αν θ είναι ηγωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου, να αποδείξετε ότι το εμβαδόντου είναι E ( 1συνθ)ημθ. Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ ( 0, π)γιατην οποία εμβαδόν του τριγώνου μεγιστοποιείται.g4. Ένα σύρμα μήκους 20m διατίθεται γιατην περίφραξη ενός ανθόκηπου σχήματοςκυκλικού τομέα. Να βρείτε τηνακτίνα r του κύκλου, αν επιθυμούμενα έχουμε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνειατου κήπου.θΟr5. Δύο διάδρομοι πλάτους 1mτέμνονται κάθετα (Σχήμα ).Να βρείτε το μεγαλύτερο δυνατόμήκος μιας σκάλας πουμπορεί, αν μεταφερθεί οριζόντια,να στρίψει στη γωνία.Υπόδειξη:i) Να εκφράσετε τα ΟΑ, ΟΒσυναρτήσει της γωνίας θ,1mΑθΓ ΟΔ θΒ1m
Change language