ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 255Eπομένως, η συνάρτηση f:— είναι γνησίως αύξουσα στο (,0], αφού είναι συνεχής στο (,0]και ισχύειf ( x) 0 στο (, 0).— είναι γνησίως φθίνουσα στο [ 0,1] , αφού είναι συνεχής στο [0,1]και ισχύειf ( x) 0 στο (0,1).— είναι γνησίως αύξουσα στο [ 1, ), αφού είναι συνεχής στο [ 1, )και ισχύειf ( x) 0 στο ( 1, ).Το πρόσημο της f και το είδος μονοτονίας της f στα διαστήματα (, 0],[ 0,1] και [ 1, )συγκεντρώνονται συνοπτικά στον παρακάτω πίνακα:x 0 1 +f ΄(x) + 0 0 +f (x)f(0)f(1)2. i) Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση ( x) x συνx 2f , x [0,π]είναι γνησίωςαύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.ii) Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση συνx x 2 έχει ακριβώς μια λύση στο[0,π] .ΑΠΟΔΕΙΞΗi) Είναιf ( x) ( x συνx 2) 1ημx 0 , για κάθε [ 0, π].Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ 0, π]. Επειδή η f είναι συνεχής καιγνησίως αύξουσα, σύμφωνα με την παράγραφο 1.8, το σύνολο τιμών της είναιτο διάστημα [ f (0), f ( π)] [ 3,π 1].ii) Έχουμε:συνx x 2 x συνx 2 0 , f ( x) 0 , x [ 0, π].Επειδή το σύνολο τιμών της f είναι τοδιάστημα [ 3,π 1], που περιέχει το 0, θαυπάρχει ένα τουλάχιστονx (0,0π) , τέτοιοώστε f (x0 ) 0 . Επειδή επιπλέον η f είναιγνησίως αύξουσα στο [ 0, π], η x0είναι μοναδικήρίζα της f ( x) 0 στο διάστημα αυ-y1O2y=συνxπ/2x 02y=x2π28x