ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

1941 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΘεώρημα ενδιάμεσων τιμώνΤο επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και είναιγνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.ΘΕΩΡΗΜΑΈστω μια συνάρτηση[ α , β]. Αν: η f είναι συνεχής στο f ( α) f ( β)f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα[ α,β]καιτότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f (α) και f (β)υπάρχει ένας, τουλάχιστονx ( α,) τέτοιος, ώστε0 βΑΠΟΔΕΙΞΗΑς υποθέσουμε ότιθεωρήσουμε τη συνάρτηση η g είναι συνεχής στο g( α)g(β) 0 ,αφούg ( α) f ( α) η 0 καιg ( β) f ( β) η 0 .f ( x 0) ηf ( α) f ( β). Τότε θα ισχύει f ( α) η f ( β)(Σχ. 67). Ανg( x) f ( x) η , x [α, β], παρατηρούμε ότι:[ α,β]καιΕπομένως, σύμφωνα με το θεώρημα τουBolzano, υπάρχει x (α,) τέτοιο, ώστε0βg x ) f ( x ) η 0 , οπότε f ( x 0) η . ■(0 0yf(β)ηf(a)Α(α,f(α))x 0x 0O a β xx 067B(β,f(β))y=ηΣΧΟΛΙΟΑν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στοδιάστημα [ α,β], τότε, όπως φαίνεται καιστο διπλανό σχήμα, δεν παίρνει υποχρεωτικάόλες τις ενδιάμεσες τιμές.yf(β)ηf(a)68y=ηOaβx Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι:Η εικόνα f (Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησηςf είναι διάστημα.