ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

1921 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΔυο βασικές ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων σε διαστήματα εκφράζονταιαπό τα παρακάτω θεωρήματα:Θεώρημα του BolzanoΣτο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράστασημιας συνεχούς συνάρτησης f στο[ α,β]. Επειδή τα σημεία A( α,f (α)) καιB( β,f (β))βρίσκονται εκατέρωθεν του ά-ξονα xx , η γραφική παράσταση της f τέμνειτον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο.Συγκεκριμένα ισχύει το παρακάτω θεώρηματου οποίου η απόδειξη παραλείπεται.ΘΕΩΡΗΜΑyf(β)a x 0 x 0O x 0βf(a)Α(α,f(α))64B(β,f(β))xΈστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα[ α,β]. Αν: η f είναι συνεχής στο f ( α) f ( β) 0 ,[ α,β]και, επιπλέον, ισχύειτότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x ( α,) τέτοιο, ώστε0βf ( x 0 ) 0 .Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f ( x) 0 στο ανοικτόδιάστημα ( α,β).ΣΧΟΛΙΟΑπό το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι:— Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x Δ ή είναι αρνητική για κάθε x Δ ,δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. (Σχ. 65)yy65f(x)>0O a β xOaf(x)