Attention! Your ePaper is waiting for publication!
By publishing your document, the content will be optimally indexed by Google via AI and sorted into the right category for over 500 million ePaper readers on YUMPU.
This will ensure high visibility and many readers!
3123 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣe α x )e α x )ημ ( βx dx , συν ( βx dx*όπου α, β .2. Ο πληθυσμός P(t), 0 t 20 , μιας πόλης, που προέκυψε από συγχώνευση10 κοινοτήτων, αυξάνεται με ρυθμό (σε άτομα ανά έτος) που δίνεται από τονt/10τύπο P ( t) te , 0 t 20 , όπου t είναι ο αριθμός των ετών μετά τη συγχώνευση.Να βρεθεί ο πληθυσμόςP(t)της πόλης t χρόνια μετά τη συγχώνευση,αν γνωρίζουμε ότι ο πληθυσμός ήταν 10000 κάτοικοι κατά τη στιγμή τηςσυγχώνευσης.ΛΥΣΗΈχουμεP(t)dt 10te 10e1/10dt(e t / 10) tdt t 10 et /10t / 10dtοπότε 10tet / 10100et / 10 c ,Ότανt / 10 t / 10P( t) 10te100e c , για κάποιο c .t 0 , ο πληθυσμός είναι 10000. Συνεπώς:00P (0) 10000 10e0100e c 10000 c 10100 .΄Αρα, ο πληθυσμός της πόλης, t χρόνια μετά τη συγχώνευση, είναιΟλοκλήρωση με αντικατάστασηt / 10 t /10P ( t) 10te100e10100.Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζουμε ολοκληρώματα που έχουν ή μπορούν να πάρουντη μορφή f ( g(x))g(x)dx . Η μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάστασηεκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο:f ( g(x))g(x)dx f ( u)du ,όπου u g(x)και du g(x)dxΟ παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμαf ( u)du του δευτέρου μέλους υπολογίζεται ευκολότερα.
3123 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣe α x )e α x )ημ ( βx dx , συν ( βx dx*όπου α, β .2. Ο πληθυσμός P(t), 0 t 20 , μιας πόλης, που προέκυψε από συγχώνευση10 κοινοτήτων, αυξάνεται με ρυθμό (σε άτομα ανά έτος) που δίνεται από τονt/10τύπο P ( t) te , 0 t 20 , όπου t είναι ο αριθμός των ετών μετά τη συγχώνευση.Να βρεθεί ο πληθυσμόςP(t)της πόλης t χρόνια μετά τη συγχώνευση,αν γνωρίζουμε ότι ο πληθυσμός ήταν 10000 κάτοικοι κατά τη στιγμή τηςσυγχώνευσης.ΛΥΣΗΈχουμεP(t)dt 10te 10e1/10dt(e t / 10) tdt t 10 et /10t / 10dtοπότε 10tet / 10100et / 10 c ,Ότανt / 10 t / 10P( t) 10te100e c , για κάποιο c .t 0 , ο πληθυσμός είναι 10000. Συνεπώς:00P (0) 10000 10e0100e c 10000 c 10100 .΄Αρα, ο πληθυσμός της πόλης, t χρόνια μετά τη συγχώνευση, είναιΟλοκλήρωση με αντικατάστασηt / 10 t /10P ( t) 10te100e10100.Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζουμε ολοκληρώματα που έχουν ή μπορούν να πάρουντη μορφή f ( g(x))g(x)dx . Η μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάστασηεκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο:f ( g(x))g(x)dx f ( u)du ,όπου u g(x)και du g(x)dxΟ παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμαf ( u)du του δευτέρου μέλους υπολογίζεται ευκολότερα.
3 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 313Η απόδειξη του τύπου αυτού στηρίζεται στο γνωστό κανόνα παραγώγισης σύνθετηςσυνάρτησης. Πράγματι, αν F είναι μια παράγουσα της f, τότεF ( u) f ( u), (1)οπότεF ( g(x)) f ( g(x))και άρα ( g(x))g(x)dx F(g(x))gf ( x)dx( F ( g(x))) dx(αφού ( F(g(x)) F (g(x))g(x)) F(g(x)) c F( u) c , (όπου u g(x)f ( u)du(λόγω της (1))■Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμαu x 2 1 και2xdu ( x2 1)dx 2xdx, οπότε το ολοκλήρωμα γράφεται:22x x 1dxudu u / 2 du2 u31 3 / 2c2 2 2( x 1)3 / c3x21dx. Θέτουμε232 3( x 1) c .ΕΦΑΡΜΟΓEΣ1. Nα υπολογισθούν τα ολοκληρώματαi) xe dxx 2(1 e )ii) εφxdx .
Change language