ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

3183 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ3.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣΓενικάΣτο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι, όταν γνωρίζουμε τη συνάρτηση θέσηςy S(t) ενός κινητού, μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα και την επιτάχυνσητου κινητού. Πολλές φορές, όμως, είναι γνωστή η ταχύτηταυ υ(t) ή η επιτάχυνσηα α(t)του κινητού και ζητείται η θέση του. Για παράδειγμα:— Aν ένα κινητό κινείται ευθυγράμμως με σταθερή ταχύτητα c, για να προσδιορίσουμετη θέση του y S(t) , αρκεί να λύσουμε ως προς y την εξίσωσηy c . (1)— Aν σε ένα σώμα μάζας m ασκείται δύναμη F F(t), τότε το σώμα κινείται μεεπιτάχυνση α α(t)η οποία, σύμφωνα με το 2ο νόμο της μηχανικής, δίνεται απότον τύπο F mα ή, ισοδύναμα, F my, όπου y S(t)η συνάρτηση θέσης τουσώματος. Επομένως, για να προσδιορίσουμε τη θέση y S(t)του σώματος, αρκείνα λύσουμε την εξίσωσηm y F . (2)Εξισώσεις όπως οι (1) και (2) λέγονται διαφορικές εξισώσεις. Γενικά,ΟΡΙΣΜΟΣΔιαφορική εξίσωση λέγεται κάθε εξίσωση που περιέχει τη μεταβλητή x, μιαάγνωστη συνάρτηση y f (x) και κάποιες από τις παραγώγους της y, y,... .Για παράδειγμα, οι εξισώσειςείναι διαφορικές εξισώσεις.y 2x , y 2y, y y 0Η μεγαλύτερη από τις τάξεις των παραγώγων που εμφανίζονται στην εξίσωσηονομάζεται τάξη της διαφορικής εξίσωσης. Έτσι οι εξισώσεις y 2x καιy 2y είναι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως, ενώ η y y 0 είναι δευτέραςτάξεως.Κάθε συνάρτησητης εξίσωσης.y f (x)Για παράδειγμα, η συνάρτησηy 2x, αφού y ( x2 ) 2x.που επαληθεύει τη διαφορική εξίσωση λέγεται λύση2y xείναι μια λύση της διαφορικής εξίσωσηςΤο σύνολο όλων των λύσεων μιας διαφορικής εξίσωσης λέγεται γενική λύσητης εξίσωσης.