ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

3443 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ(i) f ( x) g(x)για κάθε x [ α,β]και(ii) οι f , g είναι μη αρνητικές στο [ α,β].Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι ο τύπος (1) ισχύει και χωρίς την υπόθεση (ii). Πράγματι,επειδή οι συναρτήσεις f , g είναι συνεχείς στο [ α,β], θα υπάρχει αριθμόςc τέτοιος ώστε f ( x) c g ( x) c 0 , για κάθε x [ α,β]. Είναι φανερό ότι τοχωρίο Ω (Σχ. 20α) έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο Ω (Σχ. 20β).yy20y=f(x)+cΩy=f(x)Ωα Oβ xy=g(x)(α)Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (1), έχουμε:αy=g(x)+cO β x(β)Άρα,β [( f ( x) c) ( g(x) c)]dx ( f ( x)Ε ( Ω) Ε(Ω)g(x))dx .αβE ( Ω) ( f ( x) g(x))dxααβ Με τη βοήθεια του προηγούμενου τύπου μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόντου χωρίου Ω που περικλείεται από τονάξονα xx , τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησηςg, με g ( x) 0 για κάθε x [ α,β]y21και τις ευθείες x α και x β (Σχ. 21).αβ xOΠράγματι, επειδή ο άξονας x x είναι η γραφικήπαράσταση της συνάρτησης f ( x) 0 ,ΩέχουμεβE ( Ω) ( f ( x) g ( x))dxαβ [ g ( x)]dx g(x)dx .ααβy=g(x)Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει g ( x) 0 για κάθε x [ α,β], τότεβE ( Ω) g(x)dxα