Attention! Your ePaper is waiting for publication!
By publishing your document, the content will be optimally indexed by Google via AI and sorted into the right category for over 500 million ePaper readers on YUMPU.
This will ensure high visibility and many readers!
321 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑκαιD x 01Επομένως:α βD αδ βγγ δβα 10 βα 0 δ , D z γ, D y β, D ω α .δγ 01 δγ 1 Aν D 0 , τότε τα συστήματα (Σ 1 ) και (Σ 2 ) έχουν μοναδική λύση, οπότε οπίνακας Α αντιστρέφεται. Η λύση του (Σ 1 ) είναι το ζεύγος ( x,z)μεD δx x καιD Dενώ η λύση του (Σ 2 ) είναι το ζεύγος ( y,ω)Dy βy καιD DDzγz ,D DμεD αω ω .D DΆραX δ D γ D β D , οπότε ο αντίστροφος του Α είναι ο πίνακαςαD A11 δ D γ βα . Αν D 0 , τότε ένα τουλάχιστον από τα συστήματα (Σ 1 ) και (Σ 2 ) είναι αδύνατο,οπότε ο πίνακας Α δεν αντιστρέφεται. Πράγματι .α) Αν D 0 ή D 0 ή D 0 ή D 0 , τότε ένα τουλάχιστον από ταxyσυστήματα (Σ 1 ) και (Σ 2 ) θα είναι αδύνατο.zβ) Αν D D D D 0 , τότε α β γ δ 0 , οπότε και πάλι τα δύοxσυστήματα θα είναι αδύνατα.Αποδείξαμε λοιπόν ότι:yzωω O πίνακαςαβα βA είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν 0 .γδ γ δαβ Ο αντίστροφος ενός πίνακα A , αν υπάρχει, δίνεται από τον τύπογδ 1 δ βα βA1 , όπου D .D γ α γ δΓια παράδειγμα:
321 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑκαιD x 01Επομένως:α βD αδ βγγ δβα 10 βα 0 δ , D z γ, D y β, D ω α .δγ 01 δγ 1 Aν D 0 , τότε τα συστήματα (Σ 1 ) και (Σ 2 ) έχουν μοναδική λύση, οπότε οπίνακας Α αντιστρέφεται. Η λύση του (Σ 1 ) είναι το ζεύγος ( x,z)μεD δx x καιD Dενώ η λύση του (Σ 2 ) είναι το ζεύγος ( y,ω)Dy βy καιD DDzγz ,D DμεD αω ω .D DΆραX δ D γ D β D , οπότε ο αντίστροφος του Α είναι ο πίνακαςαD A11 δ D γ βα . Αν D 0 , τότε ένα τουλάχιστον από τα συστήματα (Σ 1 ) και (Σ 2 ) είναι αδύνατο,οπότε ο πίνακας Α δεν αντιστρέφεται. Πράγματι .α) Αν D 0 ή D 0 ή D 0 ή D 0 , τότε ένα τουλάχιστον από ταxyσυστήματα (Σ 1 ) και (Σ 2 ) θα είναι αδύνατο.zβ) Αν D D D D 0 , τότε α β γ δ 0 , οπότε και πάλι τα δύοxσυστήματα θα είναι αδύνατα.Αποδείξαμε λοιπόν ότι:yzωω O πίνακαςαβα βA είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν 0 .γδ γ δαβ Ο αντίστροφος ενός πίνακα A , αν υπάρχει, δίνεται από τον τύπογδ 1 δ βα βA1 , όπου D .D γ α γ δΓια παράδειγμα:
1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 33343 4α) Ο πίνακας A αντιστρέφεται, γιατί 2 0 και ο αντίστροφός121 2του είναι ο11 2 4A .2 13424 2β) Ο πίνακας A δεν αντιστρέφεται, γιατί 0 .212 1ΕΦΑΡΜΟΓH2111Δίνονται οι πίνακες A και B 34 22i) Nα βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Αii) Να λυθεί η εξίσωσηΛΥΣΗAX B31 2 1i) Για τον πίνακα Α έχουμε D 11 0 . Άρα3 4ii) Επειδή ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος, έχουμε:AX B X A11 4 1A (1)11 3 21(1) B X 1116 X 1 431 .11 112 2231ΑΣΚΗΣΕΙΣΑ΄ ΟΜΑΔΑΣ1. Nα βρείτε τα γινόμενα AB και BA σε όποιες από τις παρακάτω περιπτώσειςορίζονται:
Change language