ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 241και στη συνέχεια την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο O(0,0)σεκαθεμια περίπτωση χωριστά.10. Έστω f μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση για την οποία ισχύειf ( 1) 1 και g η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότηταg( x) f (x2 x 1)1,x . Να αποδείξετε οτι η εφαπτομένη τηςστο A(1,f (1)) εφάπτεται της C στο B( 0, g(0)).11. Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύειi) Να βρείτε την f (0)gf ( ημx) ex συνx, για κάθε x ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη τηςσχηματίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο.fC fC στο σημείο A( 0, f (0))f2.4 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣΣτην αρχή του κεφαλαίου αυτού, ορίσαμε τη στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητούτη χρονική στιγμή ως το όριοt 0S(t) S(t0)lim S(t0).ttt t00Το όριο αυτό το λέμε και ρυθμό μεταβολής της τετμημένης S του κινητού ωςπρος το χρόνο t τη χρονική στιγμή . Γενικά,ΟΡΙΣΜΟΣΑν δύο μεταβλητά μεγέθηt 0x, y συνδέονται με τη σχέση y f (x), όταν f είναιμια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής τουy ως προς το x στο σημείο x την παράγωγο f x ) .0Για παράδειγμα, ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο t τηχρονική στιγμή t0είναι η παράγωγος υ ( t 0) , της ταχύτητας υ ως προς το χρόνο tτη χρονική στιγμή t0. Η παράγωγος υ ( t 0) λέγεται επιτάχυνση του κινητού τηχρονική στιγμή t και συμβολίζεται με α t ) . Είναι δηλαδή0α( 0( 0) υ(t ) S() .( t0 0t0Στην οικονομία, το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε και το κέρδος Ρ εκφράζονταισυναρτήσει της ποσότητας x του παραγόμενου προϊόντος. Έτσι, η παράγωγοςΚ x ) παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους Κ ως προς την ποσό-( 0