ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 87Η έκφρασηα βi,α,β είναι ακριβώς ό,τι λέμε μιγαδικό αριθμό. Είναι ησύνθεση δύο αριθμών, του πραγματικού α και του βi, τον οποίο ονομάζουμεφανταστικό αριθμό. Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του z και σημειώνεταιRe(z), ενώ ο β λέγεται φανταστικό μέρος του z και σημειώνεται Im(z) . Επιπλέον,στο κάθε πραγματικός αριθμός α εκφράζεται ως α 0i, ενώ κάθε φανταστικόςαριθμός βiεκφράζεται ως 0 βi.Στη συνέχεια, όταν λέμε ο μιγαδικός z α βi, εννοούμε ότι οι α και β είναιπραγματικοί αριθμοί και το γεγονός αυτό δε θα τονίζεται ιδιαίτερα.Ισότητα Μιγαδικών ΑριθμώνΕπειδή κάθε μιγαδικός αριθμός z γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφήα βi , δύο μιγαδικοί αριθμοί α βiκαι γ δiείναι ίσοι, αν και μόνο αν α γκαιβ δ . Δηλαδή ισχύει:αβi γ δi α γ και β δ .Επομένως, επειδή0 0 0i , έχουμεα βi 0 α 0 και β 0 .Μετά τον ορισμό της ισότητας μιγαδικών αριθμών δημιουργείται το ερώτημα ανδιατάσσονται οι μιγαδικοί αριθμοί. Γνωρίζουμε ότι, κατά την επέκταση από το στο , οι πράξεις, η διάταξη και οι ιδιότητες αυτών οι οποίες ισχύουν στο ,μεταφέρονται και στο . Τα ίδια συμβαίνουν και για τις επεκτάσεις από το στο και από το στο . Στην επέκταση, όμως, από το στο , ενώ οι πράξειςκαι οι ιδιότητες αυτών που ισχύουν στο εξακολουθούν να ισχύουν καιστο , εν τούτοις η διάταξη και οι ιδιότητές της δε μεταφέρονται.Γεωμετρική Παράσταση ΜιγαδικώνKάθε μιγαδικό αριθμό α βi μπορούμε να τον y1αντιστοιχίσουμε στο σημείο M ( α,β)ενός καρτεσιανούεπιπέδου. Αλλά και αντιστρόφως,κάθε σημείο M ( α,β)του καρτεσιανού αυτούεπιπέδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε στομιγαδικό α βi . Το σημείο M λέγεται εικόναβM(α,β) ή Μ(z)του μιγαδικού α βi . Aν θέσουμε z α βi,τότε το σημείο M ( α,β)μπορούμε να το συμβολίζουμεκαι με M (z) .Ο a xΈνα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμώνθα αναφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο. Ο άξονας x x λέγεται πραγματικός άξονας,αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M (α,0) που είναι εικόνες των πραγματικώναριθμών α α 0i, ενώ ο άξονας y y λέγεται φανταστικός άξονας, αφού