ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

1 ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1711.ΑΠΟΔΕΙΞΗ lim ημx ημx0xx0 lim συνx συνx0xx0 Αρχικά θα αποδείξουμε ότιlim ημx 00xκαι lim συνx 10x(1)Πράγματι:— Σύμφωνα με την προηγούμενη ανισότητα έχουμε | ημx | | x | , οπότε | x | ημx|x | .Επειδήlim( |x | ) 0 lim | x | , σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, θα είναιx0x0lim ημx 0 .0x22— Γνωρίζουμε ότι συν x 1ημ x , οπότεΕπομένως2 π π συνx 1ημ x , για κάθε x ,0 0, . 2 2 lim συνx limx0x01ημ2x 1lim ημx02x 10 1. Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι lim ημx ημx0. Πράγματι . έχουμεxx0lim ημx lim ημ( x0 h) lim(ημx0συνh συνx0ημh)xx0h0h0 ημxlim συνh συνxlim ημh(1) ημx0h001συνx00h00 ημx Ανάλογα αποδεικνύεται και ότι lim συνx συνx0. ■xx00.2. α)ημxlim 1x0 x β)συνx1lim 0x0 x