ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 263yy35βf΄0f΄0Oa x 0 β xOa x 0 β xiii) Έστω ότιf ( x) 0 , για κάθε x α,x ) ( x , ) .(0 0βyf΄>0yf΄>035γf΄>0f΄>0Oa x 0 β xOa x 0 β xΕπειδή η f είναι συνεχής στοθα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από ταδιαστήματα ( α , x ] και [ x 0, β). Επομένως, γιαx 0x x x ισχύει0 1 02f ( x1 ) f ( x0) f ( x 2) . Άρα το f (x 0) δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. Θα δείξουμε,τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β) . Πράγματι, έστωx1, x2 ( α,β)με x1 x2.— Αν x , x ( α,x ] , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α,x ] , θα ισχύειf ( x 1)1 2f ( x 2) .0— Αν x x [x , ) , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ x 0, β), θα ισχύειf ( x 1)1, 2 0βf ( x 2) .— Τέλος, αν x x , τότε όπως είδαμε f x ) f ( x ) f ( ) .1 0x2(1 0x2(1x2Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f x ) f ( ) , οπότε η f είναι γνησίωςαύξουσα στο ( α,β).Ομοίως, αν f (x) 0 για κάθε x α,) ( x , β). ■Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση( x 0 0f4 3( x) x 4xπου είναι ορισμένη στο . Η3 2f είναι παραγωγίσιμη στο , με f ( x) 4x12x. Οι ρίζες της f ( x) 0 είναιx 0 (διπλή) ή x 3 , το δε πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:x 0 3 f (x) 0 0 +0