ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

3483 OΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΛΥΣΗΤο ημικύκλιοσυνάρτησηςxC 1f ( x)αφού για y 0 είναιΑνE 12 y2είναι γραφική παράσταση τηςρ ρ22 x2, x [ ρ,ρ],2 2 y ρ x .είναι το εμβαδόν του ημικυκλίου, τότεE 2E1. Επειδή f ( x) 0 για κάθε x [ ρ,ρ],έχουμερE 1yρy ρ x(c 1 )282 2ρΟ x(c 2 )ρρΕ ρ2 x2 ρ1dx . (1)Επειδήώστεx π π ρ x ρ , έχουμε 1 1 . Επομένως, υπάρχει θ ρ , 2 2 τέτοιο,x ημθ. (1)ρ π π Έτσι, έχουμε x ρημθ, θ , 2 2 , οπότε dx ρσυνθdθ. Επιπλέον, για x ρππείναι θ και για x ρ είναι θ . Επομένως,22π / 2Ε 22 2 221ρ ρ ημ θ ρσυνθdθρ 1 ημ θ συνθdθπ/ 2π / 2π/ 2π / 2π/ 2π / 2π/ 2 ρ 2 συν2θσυνθdθ ρ2συν 2θdθ(Επειδή συνθ 0 )π / 2π / 2 συν2θημ22 2θθ πρ ρdθ ρπ / 22 2 4 π/ 2212.2Άρα Ε 2Ε πρ .12 2x yΜε τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι το εμβαδόν της έλλειψης 12 β2αίσο με παβ .είναι