ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

2242 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣΠράγματι, ανείναι ένα σημείο του , τότε γιαx0x0x ισχύει:fν νν1ν2ν1( x) f ( x0 ) x x0( x x0)( x x x0x0) ν1ν2ν1 x x x0x0x x0x x0x x0οπότε,limxx0f ( x) f ( xx x00) lim ( xxx0ν1 xν2x0 x ) x x x νx ,ν10ν10ν10ν10ν10ν ν1δηλαδή ( x ) νx . ■ Έστω η συνάρτησηf ( x) x . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο( 0, )και ισχύει1f ( x) , δηλαδή2 xx12 xΠράγματι, ανf ( x) f ( xx x0οπότεδηλαδή x)x0είναι ένα σημείο του ( 0, ) , τότε για x x0ισχύει:x 0 x x0 x x0 x x0( x x0) x x0 ( x x0) x x0 x x00 01x x1 .2 xxf ( x) f ( x )lim lim0xx0 x x xx00x x0211x0,,Όπως είδαμε στην παράγραφο 3.1 ηστο 0. ■f ( x) x δεν είναι παραγωγίσιμη Έστω συνάρτηση f ( x) ημx. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο καιισχύει f ( x) συνx, δηλαδή( ημx) συνxΠράγματι, για κάθεx και h 0 ισχύειf ( x h) f ( x)ημ( x h) ημxημxσυνh συνx ημh ημxhhh