ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 253Έστω η συνάρτηση f ( x) x2 . Παρατηρούμε ότιστο διάστημα (,0) , στο οποίο η f είναι γνησίωςφθίνουσα, ισχύει f ( x) 2x 0 , ενώ στο διάστημα( 0, ) , στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα, ι-σχύει f ( x) 2x 0 . Βλέπουμε, δηλαδή, ότι υπάρχειμια σχέση ανάμεσα στη μονοτονία και στο πρόσημοτης παραγώγου της συνάρτησης. Συγκεκριμέναισχύει:y=x 2f΄(x)0O xΘΕΩΡΗΜΑΈστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ. Αν f ( x) 0 σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίωςαύξουσασε όλο το Δ. Αν f ( x) 0 σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίωςφ θίνουσα σε όλο το Δ.ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αποδεικνύο υμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f ( x) 0 .Έστω x 1, x 2 Δ με x1 x2. Θα δείξουμε ότι f ( x1) f ( x2) . Πράγματι, στο διά-στημα x , ] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσε ις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχειξ ( x 1,[1x2x τέτοιο, ώστε)2f ( ξ)f ( x2) f ( x1)x2 x1, οπότε έχουμεf ( x2 ) f ( x1) f (ξ)(x2 x1)Επειδή f ( ξ) 0 και x x 0 , έχουμε f x ) f ( x ) 0 , οπότε2 1(2 1 Στην περίπτωση που είναι f ( x ) 0 εργαζόμαστε αναλόγως.f x ) f ( ) .(1x2■Για παράδειγμα:— η συνάρτηση f ( x) x , είναι γνησίως αύξουσαστο [ 0, ), αφού είναι συνεχής στο[ 0, )και ισχύει f ( x)1 0 για κάθε2 xx ( 0, ) .yΟy x24x