ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου - eBooks4Greeks.gr

1 ΠΙΝΑΚΕΣ – ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 81Κατόπιν η 1η στήλη πολλαπλασιάζεται επί 3 και απ’ αυτήν αφαιρείται η3η στήλη, με αποτέλεσμα:4839512432139Τέλος, η 1η στήλη πολλαπλασιάζεται επί 5 και απ’ αυτήν αφαιρείται 4φορές η 2η στήλη, με αποτέλεσμα3699512432139Το αρχικό σύστημα έχει λοιπόν μετασχηματιστεί στο3x2y5yz 39 z 2436z 99από το οποίο υπολογίζεται αμέσως ο z και με διαδοχικές αντικαταστάσεις,οι x, y. Στο αρχαίο κείμενο, με μια ανάλογη διαδικασία που εκτελείταιπάνω στον άβακα, προσδιορίζεται η λύση του προβλήματος:1 δεμάτι της κακής συγκομιδής δίνει1 δεμάτι της μέτριας συγκομιδής δίνει1 δεμάτι της καλής συγκομιδής δίνει32 dou σιτάρι414 dou σιτάρι419 dou σιτάρι.4Στο έργο “Αριθμητικά”, του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδουΔιόφαντου, υπάρχουν πολλά προβλήματα που ανάγονται στην επίλυσηγραμμικών συστημάτων. Στο επόμενο, που είναι το πρόβλημα 19του πρώτου βιβλίου, ο τρόπος επίλυσης βρίσκεται πολύ κοντά προς τοσύγχρονο αλγεβρικό τρόπο σκέψης:Ευρείν τέσσαρας αριθμούς όπως οι τρεις λαμβανόμενοι του λοιπού υπερέχωσινεπιταχθέντι αριθμώ. (Να βρεθούν 4 αριθμοί έτσι ώστε λαμβανόμενοιανά τρεις να ξεπερνούν τον άλλο κατά δοθέντα αριθμό).Ο Διόφαντος παρουσιάζει τη λύση του προβλήματος μέσα από μια ειδικήπερίπτωση (που γενικεύεται άμεσα). Έστω, γράφει, ότι οι α, β, γ ξεπερνούντον δ κατά 20, οι β, γ, δ ξεπερνούν τον α κατά 30, οι γ, δ, α ξεπερνούντον β κατά 40 και οι δ, α, β ξεπερνούν τον γ κατά 50. Το πρόβλημα,όπως είναι φανερό, ανάγεται στην επίλυση του γραμμικού συστήματος: