Skripten - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien

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6 1. EINLEITUNG natürliche ZahlenÆ: 0, 1, 2, 3, . . . ganze Zahlen: 0, ±1, ±2, ±3, . . . rationale ZahlenÉ: Brüche ganzer Zahlen mit nicht verschwindendem Nenner. reelle ZahlenÊ: Zahlen auf der Zahlengeraden, alle Dezimalzahlen.
KAPITEL 2 Grundlagen Bevor wir uns auf den Ozean der Mathematik hinauswagen, müssen wir als ersten Schritt einiges an Grundlagenwissen ansammeln, einfache Schreibweisen und Ideen, ohne die wir unser Ziel, das Wesen der ” höheren“ Mathematik zu erforschen, nicht erreichen können. 2.1. Beweise Wie wir schon in der Einleitung (Abschnitt 1.1.3) erwähnt haben, bilden Beweise die Grundlage des mathematischen Gebäudes. Während wir in den weiteren Abschnitten tiefer auf die Art und Weise eingehen werden, wie Beweise aufgebaut und geführt werden, wollen wir zunächst mit ein paar einfach verständlichen Beispielen beginnen. Zu Beginn erinnern wir uns, dass eine gerade Zahl eine ganze Zahl ist, die durch 2 teilbar ist. Proposition 2.1.1 (Quadrate gerader Zahlen). Das Quadrat einer geraden Zahl ist gerade. Man kann sich die gesamte Mathematik denken als eine Ansammlung von Aussagen, die aus gewissen Grundaussagen (den Axiomen) durch logische Schlussfolgerungen abgeleitet werden. Dieser Vorgang heißt beweisen. Gilt eine Aussage A als bewiesen, und kann man eine weitere Aussage B logisch aus A ableiten, so gilt auch B als bewiesen. Die solcherart bewiesenen Aussagen nennt man Sätze oder auch Theoreme. Üblich in der Literatur ist, zuerst die Aussage des Satzes aufzuschreiben und danach den Beweis anzuschließen, in dem die Aussage des Satzes aus bekannten Resultaten hergeleitet wird. Mit diesem Prinzip steht und fällt die Mathematik, daran lässt sich nicht deuteln. Anstelle von Satz bzw. Theorem werden auch zuweilen andere Ausdrücke verwendet, die den Stellenwert der Aussagen untereinander im Rahmen einer Theorie andeuten. Ob und wie man diese Begriffe verwendet ist teilweise auch Geschmackssache. Satz, Theorem: Dies ist das typische Resultat einer Theorie. Hauptsatz: So wird ein besonders wichtiger Satz in einem Teilgebiet der Mathematik genannt. Ein Beispiel ist etwa der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, den Sie im Rahmen der Analysis Vorlesungen kennen lernen werden. Lemma: Dieses Wort stammt aus dem Griechischen (die Mehrzahl ist daher Lemmata) und bedeutet ” Stichwort“ oder ” Hauptgedanke“. Es wird in zwei verschiedenen Zusammenhängen verwendet. Zum einen bezeichnet es ein kleines, meist technisches Resultat, einen Hilfssatz, der im Rahmen des Beweises eines wichtigen Satzes verwendet wird aber selbst meist uninteressant ist. Zum anderen handelt es sich dabei um besonders wichtige Schlüsselgedanken, die in vielen Situationen nützlich sind. Solche genialen Erkenntnisse tragen meist den Namen des Erfinders (Lemma von Zorn, Lemma von Urysohn,...). Proposition: Dies ist die lateinische Bezeichnung für Satz und wird manchmal an dessen Stelle verwendet, meist aber um ein Resultat zu bezeichnen, dessen Wichtigkeit zwischen der eines Hilfssatzes und der eines Theorems liegt. 7
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Seite 4 und 5: ii INHALTSVERZEICHNIS Kapitel 6. Za
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Seite 12 und 13: 8 2. GRUNDLAGEN Korollar, Folgerung
Seite 14 und 15: 10 2. GRUNDLAGEN Beispiel 2.2.1 (Ma
Seite 16 und 17: 12 2. GRUNDLAGEN Die Anwendung dies
Seite 18 und 19: 14 2. GRUNDLAGEN Werden Umformungen
Seite 20 und 21: 16 2. GRUNDLAGEN Beispiel 2.4.5. No
Seite 22 und 23: 18 2. GRUNDLAGEN Induktionsanfang:
Seite 24 und 25: 20 2. GRUNDLAGEN Definition 2.5.3 (
Seite 26 und 27: 22 2. GRUNDLAGEN Induktionsschritt:
Seite 29 und 30: KAPITEL 3 Logik Dieses Kapitel hand
Seite 31 und 32: 3.1. BOOLESCHE ALGEBREN 27 Zum bess
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4.5. AXIOMATISCHE MENGENLEHRE 67 Au
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5.1. MOTIVATION 71 aus Zahlen a ij
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5.2. GRUPPEN 73 p À À ÊZ Körpe
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5.2. GRUPPEN 75 (ii) Analog heißt
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5.2. GRUPPEN 77 — meist jedenfall
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5.2. GRUPPEN 79 (M 2 (Ê), +): In (
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5.2. GRUPPEN 83 (1) Es gilt (g ◦
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5.2. GRUPPEN 85 (iii) Sind G und H
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5.3. RINGE 87 Beispiel 5.3.5. Einig
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5.4. KÖRPER 89 ( Beispiel ) 5.3.15
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5.4. KÖRPER 91 In der Zahlentheori
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(K1) Seien a, b, c ∈É×É. Wir f
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KAPITEL 6 Zahlenmengen Dieses letzt
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